Mostre que
Passo 1
Neste exercício, precisamos mostrar que
. Estamos trabalhando com cálculo, especificamente com limites e derivadas. Para resolver isso, vamos precisar entender como a derivada da função
se comporta quando
cresce sem parar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada
representa a taxa de variação de
em relação a
. Ou seja, ela nos diz como
está mudando à medida que
aumenta.
Passo 3
Queremos encontrar o limite de
quando
tende a mais infinito. Isso significa que estamos interessados em saber para qual valor a derivada está se aproximando quando
fica muito grande.
Passo 4
Para encontrar esse limite, precisamos conhecer a expressão de
. Supondo que já tenhamos calculado a derivada de
, vamos analisar o comportamento dela quando
se aproxima de
.
Passo 5
Ao calcular o limite, olhamos para os termos que dominam a expressão de
conforme
cresce. Muitas vezes, termos constantes ou de menor ordem tornam-se irrelevantes nesse processo, facilitando a identificação do valor ao qual o limite converge.
Resposta
Portanto,
.
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Primeiro, usando a Regra do Produto calcule a derivada de
Usando as propriedades do logaritmo, calcule
e
Usando o resultado item (a), calcule
e
. Com base nisso, explique se as funções
e
são crescentes ou decrescentes em
Escreva o limite na forma de uma indeterminação do tipo