Primeiro, usando a Regra do Produto calcule a derivada de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada da função
usando a Regra do Produto. Isso significa que vamos precisar entender como derivar o produto de duas funções e também como lidar com exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as duas partes da nossa função que estão sendo multiplicadas. Aqui, temos:
Passo 3
Agora, vamos derivar cada uma dessas funções separadamente. Começando com
:
- A derivada de
, que chamamos de , é simplesmente 1, porque a derivada de em relação a é 1.
Passo 4
Em seguida, vamos derivar
. Para funções exponenciais da forma
, a fórmula da derivada é:
No nosso caso,
e
.
Passo 5
Aplicando a fórmula acima:
Então, a derivada de
é
.
Passo 6
Agora que temos
e
, podemos aplicar a Regra do Produto. A Regra do Produto diz que:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 7
Para simplificar, podemos fatorar
dos termos:
Resposta
A derivada de
é:
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e
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e de
Mostre que
Usando o resultado item (a), calcule
e
. Com base nisso, explique se as funções
e
são crescentes ou decrescentes em