Escreva o limite na forma de uma indeterminação do tipo

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para escrever um limite na forma de uma indeterminação do tipo . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo, mais especificamente no estudo de limites. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma indeterminação e como montar um limite que resulte nesse tipo específico de indeterminação.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o que é uma indeterminação. Quando calculamos limites, às vezes acabamos com expressões que não nos dizem diretamente o valor do limite, como ou . Essas situações são chamadas de indeterminações porque não conseguimos concluir o valor do limite apenas olhando para elas; precisamos de mais informações ou técnicas para resolvê-las.

Passo 3

Agora, focando na indeterminação , ela ocorre quando tanto o numerador quanto o denominador de uma fração tendem a zero à medida que a variável se aproxima de um certo valor. Para criar um limite nessa forma, precisamos escolher funções para o numerador e o denominador que atendam a essa condição.

Passo 4

Vamos construir um exemplo simples. Pense em uma função no numerador que tende a zero e outra no denominador que também tende a zero quando a variável se aproxima de um certo ponto. Por exemplo, se escolhermos:
E vamos considerar o limite quando se aproxima de 0.

Passo 5

Substituindo essas funções no limite, temos:

Passo 6

Agora, vamos analisar o que acontece quando se aproxima de 0. Tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero:

Passo 7

Portanto, substituindo no limite, temos uma indeterminação do tipo:
Isso significa que, sem mais informações ou métodos, não podemos determinar o valor do limite apenas com essa forma. Precisaríamos usar técnicas como a Regra de L’Hôpital para resolver completamente esse limite.

Resposta

Um exemplo de limite na forma de uma indeterminação do tipo é:

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Mostre que
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