Usando o resultado item (a), calcule e . Com base nisso, explique se as funções e são crescentes ou decrescentes em

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcularmos as derivadas das funções e no ponto , ou seja, e . Depois disso, vamos usar esses valores para dizer se as funções estão crescendo ou decrescendo em . Para isso, vamos precisar entender de derivadas e como o sinal da derivada indica se a função está aumentando ou diminuindo naquele ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular . Supondo que no item (a) você já tenha a expressão da derivada de , ou seja, . Agora, basta substituir nessa expressão.
Por exemplo, se , então:

Passo 3

Agora, vamos calcular . Assim como fizemos para , vamos usar a expressão da derivada de obtida no item (a), que é . Substituindo :
Por exemplo, se , então:

Passo 4

Com os valores das derivadas em mãos, podemos determinar se as funções estão crescendo ou decrescendo em :
  • Se a derivada for positiva ( ou ), a função está crescendo naquele ponto.
  • Se a derivada for negativa ( ou ), a função está decrescendo naquele ponto.
  • Se a derivada for zero ( ou ), a função pode ter um ponto de máximo, mínimo ou um ponto de inflexão naquele ponto.

Resposta

  • Função está crescendo em porque a derivada é positiva.
  • Função está decrescendo em porque a derivada é negativa.

Exercícios relacionados

Mostre que
Primeiro, usando a Regra do Produto calcule a derivada de
Escreva o limite na forma de uma indeterminação do tipo
Agora vamos usar outro método para calcular a derivada de . Primeiro, escreva como a soma de dois logaritmos.