Mostre que o limite abaixo não existe.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que o limite
não existe. Isso está dentro da matéria de limites em várias variáveis. Para resolver isso, precisamos analisar o comportamento da função quando
se aproxima de
por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o limite existir. Quando falamos de limite em várias variáveis, esse limite existe se, independente do caminho que a gente escolha para chegar em
, a função se aproxima do mesmo valor. Se a gente conseguir encontrar dois caminhos diferentes que dão resultados diferentes, então o limite não existe.
Passo 3
Vamos escolher dois caminhos diferentes para aproximar
de
e calcular o limite em cada um deles.
Passo 4
Primeiro Caminho: Vamos considerar
. Substituindo na função:
Então, ao longo desse caminho, o limite é 0.
Passo 5
Segundo Caminho: Agora, vamos considerar
. Substituindo na função:
Então, ao longo desse caminho, o limite é
.
Passo 6
Observamos que obtivemos dois resultados diferentes para o limite dependendo do caminho escolhido: 0 e
.
Resposta
Como chegamos a dois valores diferentes ao seguir caminhos distintos, concluímos que o limite
não existe.
Exercícios relacionados
Calcule:
[1 pt] Qual das funções abaixo é contínua em todos pontos no plano
. Justifique a resposta.
Calcule os limites, caso existam.
.
Verifique se a função dada em cada uma das sentenças abaixo é contínua.