(2,0) Mostre que o limite abaixo não existe.
lim (x, y) (0,0) x y3 x^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que o limite
lim (x, y) (0,0) x y3 x^2+y^2
não existe. Isso está dentro da matéria de limites em várias variáveis. Para resolver isso, precisamos analisar o comportamento da função quando se aproxima de por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o limite existir. Quando falamos de limite em várias variáveis, esse limite existe se, independente do caminho que a gente escolha para chegar em , a função se aproxima do mesmo valor. Se a gente conseguir encontrar dois caminhos diferentes que dão resultados diferentes, então o limite não existe.

Passo 3

Vamos escolher dois caminhos diferentes para aproximar de e calcular o limite em cada um deles.

Passo 4

Primeiro Caminho: Vamos considerar x cdot 03x^2 + 0^2 = 03x^2 = 0 . Substituindo na função:
Então, ao longo desse caminho, o limite é 0.

Passo 5

Segundo Caminho: Agora, vamos considerar x cdot x3x^2 + x^2 = x^24x^2 = 14 . Substituindo na função:
Então, ao longo desse caminho, o limite é .

Passo 6

Observamos que obtivemos dois resultados diferentes para o limite dependendo do caminho escolhido: 0 e .

Resposta

Como chegamos a dois valores diferentes ao seguir caminhos distintos, concluímos que o limite
lim (x, y) (0,0) x y3 x^2+y^2
não existe.

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