Calcule os limites, caso existam.
lim x 1 raiz[3]x+7-2x^2-1.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que calcular o limite quando se aproxima de 1 da expressão . Vamos usar conceitos de cálculo de limites, especificamente a Regra de L’Hospital, que é útil quando encontramos uma forma indeterminada como .

Passo 2

Vamos substituir raiz[3]1+7-21^2-1 = raiz[3]8-21-1 = 2-20 = 00 diretamente na expressão para ver se conseguimos calcular o limite assim:
Como obtemos , que é uma forma indeterminada, não podemos calcular o limite diretamente dessa forma. Por isso, vamos aplicar a Regra de L’Hospital.

Passo 3

A Regra de L’Hospital nos diz que, se o limite f'(x) = 13(x+7)^-2/3 resulta em uma forma indeterminada g'(x) = 2x , podemos calcular o limite das derivadas de e .
Primeiro, vamos encontrar as derivadas do numerador e do denominador:
  • Derivada do numerador :
  • Derivada do denominador :

Passo 4

Agora, aplicamos a Regra de L’Hospital substituindo as derivadas na expressão do limite:
limx 1 f'(x)g'(x) = limx 1 13(x+7)^-2/32x
Substituindo 13(1+7)^-2/32 times 1 = 13(8)^-2/32 :
13 times 142 = 1122 = 124
Sabemos que , então . Substituindo:

Resposta

O limite é igual a .

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(2,0) Mostre que o limite abaixo não existe.
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Verifique se a função dada em cada uma das sentenças abaixo é contínua.
p(x) = { sen(x)/x, se x<0, 1, se x=0, (e^x - 1)/x, se x>0 }
Calcule os limites, caso existam.
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