Verifique se a função dada em cada uma das sentenças abaixo é contínua.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função dividida em três partes diferentes, dependendo do valor de . O objetivo é verificar se essa função é contínua em todos os pontos. Para isso, vamos precisar entender o conceito de continuidade e como calcular limites.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em se:
está definida.
O limite de quando se aproxima de existe.
O limite de quando se aproxima de é igual a .
No nosso caso, precisamos verificar a continuidade em todos os valores de , mas como a função é dividida em três partes, o ponto mais crítico é , onde a definição da função muda.
Passo 3
Vamos analisar os lados de :
Para : A função é .
Para : A função é .
Para : A função é .
Vamos calcular o limite da função quando se aproxima de 0 pela esquerda () e pela direita ().
Passo 4
Calculando o limite pela esquerda ():
Sabemos que:
Portanto:
Passo 5
Calculando o limite pela direita ():
Aqui, podemos usar a regra de L’Hôpital porque tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0 quando :
Passo 6
Agora, com os limites pelas duas direções calculados, temos:
E sabemos que .
Passo 7
Já que:
A função é contínua em .
Passo 8
Para os outros valores de (), a função é composta por funções contínuas ( e ), então não há interrupções na continuidade.
Resposta
A função é contínua para todo o domínio, ou seja, em todos os valores de .