Verifique se a função dada em cada uma das sentenças abaixo é contínua.
p(x) = { sen(x)/x, se x<0, 1, se x=0, (e^x - 1)/x, se x>0 }

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função dividida em três partes diferentes, dependendo do valor de . O objetivo é verificar se essa função é contínua em todos os pontos. Para isso, vamos precisar entender o conceito de continuidade e como calcular limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em se:
  1. está definida.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. O limite de quando se aproxima de é igual a .
No nosso caso, precisamos verificar a continuidade em todos os valores de , mas como a função é dividida em três partes, o ponto mais crítico é , onde a definição da função muda.

Passo 3

Vamos analisar os lados de :
  • Para : A função é .
  • Para : A função é .
  • Para : A função é .
Vamos calcular o limite da função quando se aproxima de 0 pela esquerda ( ) e pela direita ( ).

Passo 4

Calculando o limite pela esquerda ( ):
Sabemos que:
Portanto:

Passo 5

Calculando o limite pela direita ( ):
Aqui, podemos usar a regra de L’Hôpital porque tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0 quando :

Passo 6

Agora, com os limites pelas duas direções calculados, temos:
E sabemos que .

Passo 7

Já que:
A função é contínua em .

Passo 8

Para os outros valores de ( ), a função é composta por funções contínuas ( e ), então não há interrupções na continuidade.

Resposta

A função é contínua para todo o domínio, ou seja, em todos os valores de .

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