Mostre que o limite näo existe.

Passo 1

Vamos analisar o problema: queremos mostrar que o limite da função
quando se aproxima de não existe. Para resolver isso, precisamos entender o que significa um limite existir em várias dimensões e como podemos verificar isso testando diferentes caminhos de aproximação.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar a expressão. Substituindo e diretamente no numerador e denominador:
Numerador:
Denominador:
Obtemos a forma , que é indeterminada. Isso nos indica que precisamos explorar outros métodos para determinar se o limite existe.

Passo 3

Uma maneira comum de verificar se o limite existe é avaliar a função ao se aproximar de por diferentes caminhos e ver se obtemos resultados diferentes. Se os limites não forem iguais, então o limite geral não existe.
Vamos considerar dois caminhos diferentes:
Caminho 1: Aproximar-se de ao longo da linha .
Substituindo na função:
Simplificando:
Portanto, ao se aproximar ao longo de , o limite é 0.
Caminho 2: Aproximar-se de ao longo da linha .
Substituindo na função:
Simplificando:
Neste caso, também obtemos 0.

Passo 4

Vamos tentar um terceiro caminho para garantir. Vamos nos aproximar ao longo da linha , onde é a inclinação.
Substituindo na função:
Simplificando e calculando o limite, percebemos que, dependendo do valor de , o limite pode variar, indicando que diferentes caminhos levam a diferentes valores de limite.

Resposta

Como obtivemos resultados diferentes ao nos aproximarmos de por diferentes caminhos, concluímos que o limite não existe.

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Descreva o conjunto dos pontos do plano xy em que é contínua.
Mostre que o limite näo existe.
Mostre que o limite näo existe.
x
Mostre que o limite näo existe.