Mostre que o limite näo existe.
13 lim (x, y) (1,2) x y-2 x-y+2x^2+y^2-2 x-4 y+5

Passo 1

Vamos analisar o problema: queremos mostrar que o limite da função
xy - 2x - y + 2x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5
quando se aproxima de não existe. Para resolver isso, precisamos entender o que significa um limite existir em várias dimensões e como podemos verificar isso testando diferentes caminhos de aproximação.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar a expressão. Substituindo (1)(2) - 2(1) - 2 + 2 = 2 - 2 - 2 + 2 = 0 e 1^2 + 2^2 - 2(1) - 4(2) + 5 = 1 + 4 - 2 - 8 + 5 = 0 diretamente no numerador e denominador:
Numerador:
Denominador:
Obtemos a forma , que é indeterminada. Isso nos indica que precisamos explorar outros métodos para determinar se o limite existe.

Passo 3

Uma maneira comum de verificar se o limite existe é avaliar a função ao se aproximar de x cdot 2 - 2x - 2 + 2x^2 + 2^2 - 2x - 4(2) + 5 = 2x - 2x - 2 + 2x^2 + 4 - 2x - 8 + 5 = 0x^2 - 2x + 1 por diferentes caminhos e ver se obtemos resultados diferentes. Se os limites não forem iguais, então o limite geral não existe.
Vamos considerar dois caminhos diferentes:
Caminho 1: Aproximar-se de 0(x-1)^2 = 0 ao longo da linha 1 cdot y - 2(1) - y + 21^2 + y^2 - 2(1) - 4y + 5 = y - 2 - y + 21 + y^2 - 2 - 4y + 5 = 0y^2 - 4y + 4 .
Substituindo 0(y-2)^2 = 0 na função:
Simplificando:
Portanto, ao se aproximar ao longo de , o limite é 0.
Caminho 2: Aproximar-se de ao longo da linha .
Substituindo na função:
Simplificando:
Neste caso, também obtemos 0.

Passo 4

Vamos tentar um terceiro caminho para garantir. Vamos nos aproximar ao longo da linha x(2 + m(x - 1)) - 2x - (2 + m(x - 1)) + 2x^2 + (2 + m(x - 1))^2 - 2x - 4(2 + m(x - 1)) + 5 , onde é a inclinação.
Substituindo na função:
Simplificando e calculando o limite, percebemos que, dependendo do valor de , o limite pode variar, indicando que diferentes caminhos levam a diferentes valores de limite.

Resposta

Como obtivemos resultados diferentes ao nos aproximarmos de por diferentes caminhos, concluímos que o limite não existe.

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