Mostre que o limite não existe. lim (x, y) (0,0) y^2x^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos analisar esse limite: . Isso está relacionado ao estudo de limites em várias variáveis, onde a gente precisa verificar se o limite é o mesmo independentemente do caminho que a gente escolhe para chegar ao ponto . Vamos precisar usar caminhos diferentes para testar se o limite realmente não existe.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher o caminho em que y^20^2 + y^2 = y^2y^2 = 1 . Substituindo na função, temos:
Então, ao aproximar-se de ao longo do eixo , o limite é igual a 1.

Passo 3

Agora, vamos escolher outro caminho diferente, por exemplo, 0^2x^2 + 0^2 = 0x^2 = 0 . Substituindo na função, ficamos com:
Dessa forma, ao aproximar-se de ao longo do eixo , o limite é igual a 0.

Passo 4

Como o limite ao longo de é 0 e ao longo de é 1, percebemos que dependendo do caminho escolhido, o limite assume valores diferentes. Isso indica que o limite não é o mesmo em todas as direções.

Resposta

Portanto, o limite não existe porque depende do caminho de aproximação.

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