Mostre que o limite não existe.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos mostrar que o limite da função não existe. Estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos verificar se o limite é o mesmo ao nos aproximarmos de por diferentes caminhos.

Passo 2

Uma maneira comum de mostrar que um limite não existe é calcular o limite ao longo de caminhos diferentes e ver se obtemos resultados diferentes. Se os limites ao longo de dois caminhos distintos forem diferentes, então o limite geral não existe.

Passo 3

Vamos começar calculando o limite ao longo do caminho onde . Substituindo por na função:
Quando se aproxima de 1, tanto o numerador quanto o denominador se aproximam de 0. Para resolver isso, podemos usar a expansão de Taylor para em torno de 1:
Substituindo na expressão do denominador:
Então, a função fica:
Portanto, o limite ao longo do caminho é 0.

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite ao longo do caminho onde . Substituindo por 1 na função:
Aqui, , e simplificamos a fração para obter -1.

Resposta

Como os limites ao longo dos caminhos e são diferentes (0 e -1, respectivamente), concluímos que o limite não existe.

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Seja dada . Determine e descreva o domínio de .
Seja dada . Calcule .
Faça o mapa de contorno da função mostrando várias curvas de nível.