Mostre que o limite não existe. lim (x, y) (1,1) y-x1-y+ln x

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos mostrar que o limite da função não existe. Estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos verificar se o limite é o mesmo ao nos aproximarmos de por diferentes caminhos.

Passo 2

Uma maneira comum de mostrar que um limite não existe é calcular o limite ao longo de caminhos diferentes e ver se obtemos resultados diferentes. Se os limites ao longo de dois caminhos distintos forem diferentes, então o limite geral não existe.

Passo 3

Vamos começar calculando o limite ao longo do caminho onde y - x1 - y + ln x = x - x1 - x + ln x = 01 - x + ln x . Substituindo ln x approx (x - 1) - (x - 1)^22 por 1 - x + ln x approx 1 - x + (x - 1) - (x - 1)^22 = -(x - 1)^22 na função:
0-(x - 1)^22 = 0
Quando se aproxima de 1, tanto o numerador quanto o denominador se aproximam de 0. Para resolver isso, podemos usar a expansão de Taylor para em torno de 1:
Substituindo na expressão do denominador:
Então, a função fica:
Portanto, o limite ao longo do caminho é 0.

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite ao longo do caminho onde y - 11 - y + ln 1 = y - 11 - y + 0 = y - 11 - y = -1 . Substituindo por 1 na função:
Aqui, , e simplificamos a fração para obter -1.

Resposta

Como os limites ao longo dos caminhos e são diferentes (0 e -1, respectivamente), concluímos que o limite não existe.

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