Mostre que o limite não existe.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos mostrar que o limite da função
não existe. Estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos verificar se o limite é o mesmo ao nos aproximarmos de
por diferentes caminhos.
Passo 2
Uma maneira comum de mostrar que um limite não existe é calcular o limite ao longo de caminhos diferentes e ver se obtemos resultados diferentes. Se os limites ao longo de dois caminhos distintos forem diferentes, então o limite geral não existe.
Passo 3
Vamos começar calculando o limite ao longo do caminho onde
. Substituindo
por
na função:
Quando
se aproxima de 1, tanto o numerador quanto o denominador se aproximam de 0. Para resolver isso, podemos usar a expansão de Taylor para
em torno de 1:
Substituindo na expressão do denominador:
Então, a função fica:
Portanto, o limite ao longo do caminho
é 0.
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite ao longo do caminho onde
. Substituindo
por 1 na função:
Aqui,
, e simplificamos a fração para obter -1.
Resposta
Como os limites ao longo dos caminhos
e
são diferentes (0 e -1, respectivamente), concluímos que o limite
não existe.
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Seja dada
. Determine e descreva o domínio de
.
Seja dada
. Calcule
.
Faça o mapa de contorno da função mostrando várias curvas de nível.