Nos itens abaixo, mostre que a função indicada não é analítica em nenhum lugar.
a) f(z)=Re(z)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para mostrar que a função não é analítica em nenhum lugar. Para isso, vamos usar conceitos de funções de variável complexa, especificamente as condições de Cauchy-Riemann, que são essenciais para determinar se uma função é analítica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que f(z) = x é um número complexo que pode ser escrito como , onde e são números reais, e é a unidade imaginária.
A função dada é , ou seja, ela retorna apenas a parte real de . Então, podemos expressar em termos de e :
Aqui, e , já que não há parte imaginária na função .

Passo 3

Agora, para verificar se partial upartial x = partial vpartial y e partial upartial y = -partial vpartial x é analítica, precisamos verificar as condições de Cauchy-Riemann. Essas condições dizem que, para uma função partial upartial x = partial xpartial x = 1 ser analítica em um ponto, as seguintes equações devem ser satisfeitas naquele ponto:
partial upartial y = partial xpartial y = 0
Vamos calcular as derivadas parciais de partial vpartial x = partial 0partial x = 0 e partial vpartial y = partial 0partial y = 0 :

Passo 4

Agora, vamos verificar se as condições de Cauchy-Riemann são satisfeitas:
  1. e . Para que a primeira condição seja satisfeita, precisaríamos que , o que é falso.
  2. e . Nesse caso, a segunda condição é satisfeita, mas a primeira já falhou.

Passo 5

Como as condições de Cauchy-Riemann não são satisfeitas, isso significa que a função não é analítica em nenhum ponto do plano complexo. Uma função analítica precisa satisfazer ambas as condições de Cauchy-Riemann em cada ponto do seu domínio, e no nosso caso, pelo menos uma delas não é cumprida.

Resposta

Portanto, a função não é analítica em nenhum lugar do plano complexo.

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