Nos itens abaixo, mostre que a função indicada não é analítica em nenhum lugar.
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para mostrar que a função
não é analítica em nenhum lugar. Para isso, vamos usar conceitos de funções de variável complexa, especificamente as condições de Cauchy-Riemann, que são essenciais para determinar se uma função é analítica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
é um número complexo que pode ser escrito como
, onde
e
são números reais, e
é a unidade imaginária.
A função dada é
, ou seja, ela retorna apenas a parte real de
. Então, podemos expressar
em termos de
e
:
Aqui,
e
, já que não há parte imaginária na função
.
Passo 3
Agora, para verificar se
é analítica, precisamos verificar as condições de Cauchy-Riemann. Essas condições dizem que, para uma função
ser analítica em um ponto, as seguintes equações devem ser satisfeitas naquele ponto:
Vamos calcular as derivadas parciais de
e
:
Passo 4
Agora, vamos verificar se as condições de Cauchy-Riemann são satisfeitas:
-
e . Para que a primeira condição seja satisfeita, precisaríamos que , o que é falso. -
e . Nesse caso, a segunda condição é satisfeita, mas a primeira já falhou.
Passo 5
Como as condições de Cauchy-Riemann não são satisfeitas, isso significa que a função
não é analítica em nenhum ponto do plano complexo. Uma função analítica precisa satisfazer ambas as condições de Cauchy-Riemann em cada ponto do seu domínio, e no nosso caso, pelo menos uma delas não é cumprida.
Resposta
Portanto, a função
não é analítica em nenhum lugar do plano complexo.
Exercícios relacionados
Determine os pontos nos quais a função indicada não será analítica.
b)
b)
Use as regras de derivação para determinar as derivadas das funções abaixo.
a)
a)
Expresse na forma a+ib
b) dividido por
b)
Mostre que os limites abaixo não existem.
b)
b)