Usando a incrível identidade
k^2=binomk1+2binomk2
deduza a fórmula
1^2+2^2+cdots+n^2=n(n+1)(2 n+1)6
Você consegue generalizar para calcular não somente a soma de quadrados, mas de potências maiores de inteiros positivos consecutivos?

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma identidade incrível que relaciona o quadrado de um número inteiro k^2 = binomk1 + 2binomk2 com combinações:
1^2 + 2^2 + cdots + n^2 = n(n+1)(2n+1)6
O objetivo é usar essa identidade para descobrir uma fórmula que soma os quadrados dos números de 1 até :
Para isso, vamos precisar entender como somar essas combinações e simplificar a expressão resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos somar os dois lados da identidade para todos os valores de sumk=1^n k^2 = sumk=1^n ( binomk1 + 2binomk2 ) de 1 até . Ou seja, vamos calcular:
Isso significa que a soma dos quadrados dos números de 1 a é igual à soma das combinações mais duas vezes a soma das combinações para cada .

Passo 3

Vamos simplificar a soma no lado direito da equação. Sabemos que:
sumk=1^n binomk1 = sumk=1^n k
E:
sumk=1^n 2binomk2 = 2 sumk=1^n binomk2
Então, temos:
sumk=1^n k^2 = sumk=1^n k + 2 sumk=1^n binomk2

Passo 4

Vamos calcular cada uma dessas somas separadamente. Primeiro, a soma dos primeiros sumk=1^n k = n(n+1)2 números inteiros:
Essa é uma fórmula conhecida que facilita bastante nossos cálculos.

Passo 5

Agora, vamos calcular a soma das combinações binomk2 = k(k-1)2 . Lembrando que:
sumk=1^n binomk2 = sumk=1^n k(k-1)2 = 12 sumk=1^n (k^2 - k)
Então:
Isso quebra a soma em duas partes que já sabemos como resolver.

Passo 6

Vamos calcular cada parte dessa soma:
  1. Soma dos quadrados:
    sumk=1^n k^2
    Essa é a soma que estamos tentando encontrar, então vamos deixá-la como S = sumk=1^n k^2 temporariamente:
    sumk=1^n k = n(n+1)2
  2. Soma dos primeiros sumk=1^n binomk2 = 12 (S - n(n+1)2) números inteiros:
Então, temos:

Passo 7

Voltando à expressão original:
S = n(n+1)2 + 2 cdot 12 ( S - n(n+1)2 )
Simplificando:
S = n(n+1)2 + ( S - n(n+1)2 )
Agora, vamos resolver para S = S :
Hmm, parece que algo deu errado aqui. Vamos revisar…

Passo 8

Perdão pela confusão anterior. Vamos recomeçar a parte onde calculamos sumk=1^n binomk2 = binomn+13 .
Sabemos que:
sumk=1^n binomk2 = n(n+1)(n-1)6
Essa é uma propriedade de somas de combinações. Então, substituindo:

Passo 9

Agora, voltando à expressão original:
S = n(n+1)2 + 2 cdot n(n+1)(n-1)6
Simplificando:
S = n(n+1)2 + 2n(n+1)(n-1)6
S = n(n+1)2 + n(n+1)(n-1)3

Passo 10

Vamos colocar as frações com denominador comum:
S = 3n(n+1)6 + 2n(n+1)(n-1)6
S = 3n(n+1) + 2n(n+1)(n-1)6
Fatorando S = n(n+1)[3 + 2(n-1)]6 :
3 + 2n - 2 = 2n + 1
Simplificando dentro dos colchetes:
S = n(n+1)(2n + 1)6
Então:

Resposta

Portanto, a soma dos quadrados dos números de 1 até 1^2 + 2^2 + cdots + n^2 = n(n+1)(2n+1)6 é:
E sim, com métodos similares envolvendo combinações, dá para generalizar e calcular somas de potências maiores de inteiros positivos consecutivos!

Exercícios relacionados