Usando a incrível identidade
deduza a fórmula
Você consegue generalizar para calcular não somente a soma de quadrados, mas de potências maiores de inteiros positivos consecutivos?
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma identidade incrível que relaciona o quadrado de um número inteiro
com combinações:
O objetivo é usar essa identidade para descobrir uma fórmula que soma os quadrados dos números de 1 até
:
Para isso, vamos precisar entender como somar essas combinações e simplificar a expressão resultante.
Passo 2
Primeiro, vamos somar os dois lados da identidade para todos os valores de
de 1 até
. Ou seja, vamos calcular:
Isso significa que a soma dos quadrados dos números de 1 a
é igual à soma das combinações
mais duas vezes a soma das combinações
para cada
.
Passo 3
Vamos simplificar a soma no lado direito da equação. Sabemos que:
E:
Então, temos:
Passo 4
Vamos calcular cada uma dessas somas separadamente. Primeiro, a soma dos primeiros
números inteiros:
Essa é uma fórmula conhecida que facilita bastante nossos cálculos.
Passo 5
Agora, vamos calcular a soma das combinações
. Lembrando que:
Então:
Isso quebra a soma em duas partes que já sabemos como resolver.
Passo 6
Vamos calcular cada parte dessa soma:
-
Soma dos quadrados:Essa é a soma que estamos tentando encontrar, então vamos deixá-la como
temporariamente: -
Soma dos primeiros
números inteiros:
Então, temos:
Passo 7
Voltando à expressão original:
Simplificando:
Agora, vamos resolver para
:
Hmm, parece que algo deu errado aqui. Vamos revisar…
Passo 8
Perdão pela confusão anterior. Vamos recomeçar a parte onde calculamos
.
Sabemos que:
Essa é uma propriedade de somas de combinações. Então, substituindo:
Passo 9
Agora, voltando à expressão original:
Simplificando:
Passo 10
Vamos colocar as frações com denominador comum:
Fatorando
:
Simplificando dentro dos colchetes:
Então:
Resposta
Portanto, a soma dos quadrados dos números de 1 até
é:
E sim, com métodos similares envolvendo combinações, dá para generalizar e calcular somas de potências maiores de inteiros positivos consecutivos!