Suponha que tenhamos quatro caixas distintas A, B, C e D. De quantas maneiras podemos distribuir… dez bolinhas de gude idênticas entre as quatro caixas?

Passo 1

Vamos resumir a questão: Temos 4 caixas distintas e , e 10 bolinhas de gude idênticas. Queremos descobrir de quantas maneiras podemos distribuir essas 10 bolinhas entre as 4 caixas.
Esse problema pertence ao ramo da combinatória, mais especificamente à combinação com repetição. Isso porque estamos distribuindo itens idênticos (as bolinhas) em recipientes diferentes (as caixas). Para resolver, vamos usar uma fórmula que nos ajuda a calcular essas combinações.

Passo 2

A fórmula para calcular combinações com repetição é:
binomn + k - 1k - 1
Onde:
  • binom10 + 4 - 14 - 1 = binom133 é o número de itens a serem distribuídos (no caso, 10 bolinhas).
  • é o número de recipientes (no caso, 4 caixas).
Vamos substituir os valores na fórmula:

Passo 3

Agora, precisamos calcular o valor de binom133 = 13!3! cdot (13 - 3)! , que representa o número de maneiras de escolher 3 elementos dentre 13 sem considerar a ordem.
A fórmula da combinação é:
= 13 times 12 times 113 times 2 times 1 = 17166 = 286
Calculando os fatoriais:

Resposta

Existem 286 maneiras diferentes de distribuir as dez bolinhas de gude entre as quatro caixas.

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