Mostre que a matriz A=(ccc2 & -2 & -4 -1 & 3 & 4 1 & -2 & -3) é idempotente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para mostrar que a matriz 2 & -2 & -4 -1 & 3 & 4 1 & -2 & -3 é idempotente. Isso significa que precisamos verificar se, ao multiplicar a matriz por ela mesma, o resultado é igual a . Para isso, vamos precisar saber como fazer a multiplicação de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser idempotente. Uma matriz é idempotente se satisfaz a equação , onde é a matriz multiplicada por ela mesma. Então, nosso objetivo é calcular e ver se o resultado é igual a .

Passo 3

Vamos calcular a11 & a12 & a13 a21 & a22 & a23 a31 & a32 & a33. Para multiplicar duas matrizes, multiplicamos as linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda matriz e somamos os resultados.
Vamos definir as matrizes:
2 & -2 & -4 -1 & 3 & 4 1 & -2 & -3
Agora, calculamos cada elemento de :
  • Elemento (1,1):
  • Elemento (1,2):
  • Elemento (1,3):
  • Elemento (2,1):
  • Elemento (2,2):
  • Elemento (2,3):
  • Elemento (3,1):
  • Elemento (3,2):
  • Elemento (3,3):

Resposta

Após calcular, vemos que 2 & -2 & -4 -1 & 3 & 4 1 & -2 & -3. Portanto, a matriz é idempotente.

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Sejam W1=[(1,1,0,0),(0,1,1,0)] e W2=[(2, k, 1,0),(0,0,0,1)] subespaços do R^4. Determine todos os valores de k para os quais dim(W1 cap W2)=1.
Quais dos seguintes vetores
a) (0,2,2,2);
b) (1,4,5,2);
c) (0,0,0,0)
d) (0,3,1,5)
são combinações lineares de u=(0,0,2,-2) e v=(0,1,3,-1).