Sejam e subespaços do . Determine todos os valores de para os quais .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema fala sobre subespaços vetoriais no espaço . A gente tem dois subespaços, e , definidos por suas bases. A tarefa é encontrar todos os valores de que fazem com que a dimensão da interseção desses dois subespaços, , seja igual a 1. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como combinação linear, sistemas de equações e dimensões de subespaços.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são e . Eles são gerados por combinações lineares de seus vetores base:
0110
Isso significa que qualquer vetor em pode ser escrito como , e de forma similar para .
Passo 3
Para encontrar a interseção a1100 + b0110 = c2k10 + d0001 , precisamos encontrar todos os vetores que estão em e em . Ou seja, queremos resolver a equação:
Isso nos dá um sistema de equações que relaciona os coeficientes , , e . Vamos montar esse sistema.
Passo 4
Escrevendo componente a componente, temos:
a = 2c a + b = kc b = c 0 = d
Vamos explicar cada equação:
Primeira componente:.
Segunda componente:.
Terceira componente:.
Quarta componente: (isso nos diz que ).
Passo 5
Agora, vamos resolver o sistema:
Sabemos que 2c + c = kc implies 3c = kc (da terceira equação). Substituindo na segunda equação:
Queremos que esse sistema tenha soluções não triviais (ou seja, diferentes de zero) para que a interseção tenha dimensão 1. Para que tenha soluções diferentes de zero, precisamos que . Se , a única solução será , resultando na solução trivial.
Passo 6
Verificamos que, para 2c3cc0 = c 2310 , existe uma solução não trivial:
pode ser qualquer número real.
.
.
.
Isso significa que todos os vetores na interseção são da forma:
Como é um parâmetro escalar, a interseção é um subespaço de dimensão 1.