Sejam W1=[(1,1,0,0),(0,1,1,0)] e W2=[(2, k, 1,0),(0,0,0,1)] subespaços do R^4. Determine todos os valores de k para os quais dim(W1 cap W2)=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema fala sobre subespaços vetoriais no espaço . A gente tem dois subespaços, e , definidos por suas bases. A tarefa é encontrar todos os valores de que fazem com que a dimensão da interseção desses dois subespaços, , seja igual a 1. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como combinação linear, sistemas de equações e dimensões de subespaços.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são W1 = span 1100, 0110 e W2 = span 2k10, 0001 . Eles são gerados por combinações lineares de seus vetores base:
1100
0110
Isso significa que qualquer vetor em pode ser escrito como , e de forma similar para .

Passo 3

Para encontrar a interseção a1100 + b0110 = c2k10 + d0001 , precisamos encontrar todos os vetores que estão em e em . Ou seja, queremos resolver a equação:
Isso nos dá um sistema de equações que relaciona os coeficientes , , e . Vamos montar esse sistema.

Passo 4

Escrevendo componente a componente, temos:
a = 2c a + b = kc b = c 0 = d
Vamos explicar cada equação:
  1. Primeira componente: .
  2. Segunda componente: .
  3. Terceira componente: .
  4. Quarta componente: (isso nos diz que ).

Passo 5

Agora, vamos resolver o sistema:
Sabemos que 2c + c = kc implies 3c = kc (da terceira equação). Substituindo na segunda equação:
Queremos que esse sistema tenha soluções não triviais (ou seja, diferentes de zero) para que a interseção tenha dimensão 1. Para que tenha soluções diferentes de zero, precisamos que . Se , a única solução será , resultando na solução trivial.

Passo 6

Verificamos que, para 2c3cc0 = c 2310 , existe uma solução não trivial:
  • pode ser qualquer número real.
  • .
  • .
  • .
Isso significa que todos os vetores na interseção são da forma:
Como é um parâmetro escalar, a interseção é um subespaço de dimensão 1.

Resposta

O valor de que satisfaz é .

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