Mostre que as matrizes
A=[ll a & b 0 & c ] e B=[ll d & e 0 & f ]
comutam (ou seja, A B=B A ) se, e somente se,
|cc b & a-c e & d-f |=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre duas matrizes e e nos pede para mostrar que elas comutam ( ) se e somente se o determinante de outra matriz específica é igual a zero. Para isso, vamos precisar saber como multiplicar matrizes e calcular determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como multiplicar duas matrizes A = a & b 0 & c e B = d & e 0 & f e AB = a cdot d + b cdot 0 & a cdot e + b cdot f 0 cdot d + c cdot 0 & 0 cdot e + c cdot f = a d & a e + b f 0 & c f . As matrizes são dadas por:
BA = d cdot a + e cdot 0 & d cdot b + e cdot c 0 cdot a + f cdot 0 & 0 cdot b + f cdot c = a d & b d + c e 0 & c f
Multiplicando por :
Multiplicando por :

Passo 3

Para a d = a d (já iguais) , os elementos correspondentes das matrizes multiplicadas devem ser iguais. Vamos comparar os elementos:
  1. Elemento (1,1):
a e + b f = b d + c e á
  1. Elemento (1,2):
0 = 0 (já iguais)
  1. Elemento (2,1):
c f = c f (já iguais) á
  1. Elemento (2,2):
a e + b f = b d + c e á
A única condição que nos interessa é:

Passo 4

Vamos reorganizar essa equação para facilitar a análise:
a e + b f - b d - c e = 0
Podemos separar os termos com b(f - d) + e(a - c) = 0 e os termos com :

Passo 5

Esta equação pode ser escrita em forma de determinante de uma matriz | cc b & a - c e & d - f | = 0 :
p & q r & s
Porque o determinante de uma matriz é , que exatamente corresponde à nossa equação .

Resposta

| cc b & a - c e & d - f | = 0

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