Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois subespaços de :
A pergunta é: ? Ou seja, será que todo vetor em pode ser representado como a soma de um vetor de e um vetor de ?
Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de soma de subespaços e verificar se a soma desses dois subespaços realmente cobre todo o espaço .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa a soma de dois subespaços. A soma é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como , onde e .
Então, para mostrar que , precisamos provar que qualquer vetor em pode ser escrito dessa forma.
Passo 3
Vamos assumir que existe um vetor em . Queremos encontrar vetores em e em tais que:
Isto é:
Passo 4
Sabemos que , então deve satisfazer .
E , então deve satisfazer .
Vamos resolver essas equações para encontrar em termos de .
Passo 5
Das equações:
(para )
(para )
Vamos expressar em função de (já que ):
Então, das equações 3 e 4:
Podemos resolver para e :
Passo 6
Agora, usando a equação :
Resolvendo para :
E da equação 5:
Passo 7
Agora, temos em termos de . Podemos escolher um valor para . Vamos escolher para simplificar:
Passo 8
Com essas escolhas, temos:
E, de fato:
Resposta
Sim, . Isso porque todo vetor em pode ser escrito como a soma de um vetor de e um vetor de , conforme demonstrado.