Sejam e subespaços de .
© ? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois subespaços de :
A pergunta é: ? Ou seja, será que todo vetor em pode ser representado como a soma de um vetor de e um vetor de ?
Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de soma de subespaços e verificar se a soma desses dois subespaços realmente cobre todo o espaço .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa a soma de dois subespaços. A soma é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como , onde e .
Então, para mostrar que , precisamos provar que qualquer vetor em pode ser escrito dessa forma.

Passo 3

Vamos assumir que existe um vetor em . Queremos encontrar vetores em e em tais que:
Isto é:

Passo 4

Sabemos que , então deve satisfazer .
E , então deve satisfazer .
Vamos resolver essas equações para encontrar em termos de .

Passo 5

Das equações:
  1. (para )
  2. (para )
Vamos expressar em função de (já que ):
Então, das equações 3 e 4:
Podemos resolver para e :

Passo 6

Agora, usando a equação :
Resolvendo para :
E da equação 5:

Passo 7

Agora, temos em termos de . Podemos escolher um valor para . Vamos escolher para simplificar:

Passo 8

Com essas escolhas, temos:
E, de fato:

Resposta

Sim, . Isso porque todo vetor em pode ser escrito como a soma de um vetor de e um vetor de , conforme demonstrado.

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Considere os pontos e . Determine o ângulo formado pelos vetores .
Encontre para que cada igualdade abaixo seja válida.
Considere os vetores e . Calcule:
a)