Sejam
e
subespaços de
.
©
? Justifique.
©
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois subespaços de
:
A pergunta é:
? Ou seja, será que todo vetor em
pode ser representado como a soma de um vetor de
e um vetor de
?
Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de soma de subespaços e verificar se a soma desses dois subespaços realmente cobre todo o espaço
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa a soma de dois subespaços. A soma
é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como
, onde
e
.
Então, para mostrar que
, precisamos provar que qualquer vetor
em
pode ser escrito dessa forma.
Passo 3
Vamos assumir que existe um vetor
em
. Queremos encontrar vetores
em
e
em
tais que:
Isto é:
Passo 4
Sabemos que
, então deve satisfazer
.
E
, então deve satisfazer
.
Vamos resolver essas equações para encontrar
em termos de
.
Passo 5
Das equações:
-
(para ) -
(para ) -
-
-
Vamos expressar
em função de
(já que
):
Então, das equações 3 e 4:
Podemos resolver para
e
:
Passo 6
Agora, usando a equação
:
Resolvendo para
:
E da equação 5:
Passo 7
Agora, temos
em termos de
. Podemos escolher um valor para
. Vamos escolher
para simplificar:
Passo 8
Com essas escolhas, temos:
E, de fato:
Resposta
Sim,
. Isso porque todo vetor em
pode ser escrito como a soma de um vetor de
e um vetor de
, conforme demonstrado.