Sejam W1=(x, y, z) in R^3 mid x+y-z=0 e W2=(x, y, z) in R^3 mid x=y subespaços de R^3.
© R^3=W1+W2 ? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois subespaços de :
A pergunta é: ? Ou seja, será que todo vetor em pode ser representado como a soma de um vetor de e um vetor de ?
Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de soma de subespaços e verificar se a soma desses dois subespaços realmente cobre todo o espaço .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa a soma de dois subespaços. A soma é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como , onde e .
Então, para mostrar que , precisamos provar que qualquer vetor em pode ser escrito dessa forma.

Passo 3

Vamos assumir que existe um vetor (a, b, c) = (x, y, z) + (u, v, t) em (a, b, c) = (x + u, y + v, z + t) . Queremos encontrar vetores em e em tais que:
Isto é:

Passo 4

Sabemos que , então deve satisfazer .
E , então deve satisfazer .
Vamos resolver essas equações para encontrar em termos de .

Passo 5

Das equações:
  1. x + v = a e y + v = b (para x = a - v e y = b - v )
  2. (para )
Vamos expressar em função de (já que ):
Então, das equações 3 e 4:
Podemos resolver para e :

Passo 6

Agora, usando a equação (a - v) + (b - v) - z = 0 implies a + b - 2v - z = 0 :
z = a + b - 2v
Resolvendo para z + t = c implies t = c - z = c - (a + b - 2v) = c - a - b + 2v :
E da equação 5:

Passo 7

Agora, temos x = a y = b z = a + b t = c - a - b em termos de . Podemos escolher um valor para . Vamos escolher para simplificar:

Passo 8

Com essas escolhas, temos:
w1 = (a, b, a + b) in W1 pois a + b - (a + b) = 0 w2 = (0, 0, c - a - b) in W2 pois 0 = 0
E, de fato:
w1 + w2 = (a + 0, b + 0, a + b + (c - a - b)) = (a, b, c)

Resposta

Sim, . Isso porque todo vetor em pode ser escrito como a soma de um vetor de e um vetor de , conforme demonstrado.

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