Considere os pontos A(0,1,-3), B(-1,0,3) e C(0,1,2). Determine o ângulo formado pelos vetores AB e AC.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem três pontos no espaço: , e . O que a gente precisa descobrir é o ângulo formado pelos vetores e . Para isso, vamos usar conceitos de vetores, produto escalar e trigonometria.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os vetores AB = B - A = (-1 - 0, , 0 - 1, , 3 - (-3)) = (-1, -1, 6) e AC = C - A = (0 - 0, , 1 - 1, , 2 - (-3)) = (0, 0, 5) . Isso acontece subtraindo as coordenadas do ponto A das coordenadas dos pontos B e C, respectivamente.
Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto escalar dos vetores AB cdot AC = (-1) times 0 + (-1) times 0 + 6 times 5 = 0 + 0 + 30 = 30 e . O produto escalar é uma operação que combina dois vetores e dá um número que nos ajuda a encontrar o ângulo entre eles. A fórmula é:

Passo 4

Em seguida, precisamos calcular a magnitude (ou comprimento) de cada vetor. A magnitude de um vetor |AB| = raiz(-1)^2 + (-1)^2 + 6^2 = raiz1 + 1 + 36 = raiz38 é dada por:
|AC| = raiz0^2 + 0^2 + 5^2 = raiz0 + 0 + 25 = raiz25 = 5

Passo 5

Agora, vamos usar a fórmula que relaciona o produto escalar com o ângulo entre os vetores:
AB cdot AC = |AB| times |AC| times cos(theta)
Onde cos(theta) = AB cdot AC|AB| times |AC| = 30raiz38 times 5 = 305raiz38 = 6raiz38 é o ângulo que queremos encontrar. Podemos reorganizar a fórmula para encontrar :

Passo 6

Finalmente, para encontrar o ângulo theta = arccos(6raiz38) , vamos usar a função arco cosseno ( theta approx arccos(0,974) approx 12,8^circ ):
Calculando esse valor, obtemos aproximadamente:

Resposta

O ângulo formado pelos vetores e é aproximadamente .

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