Considere os pontos e . Determine o ângulo formado pelos vetores .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem três pontos no espaço: , e . O que a gente precisa descobrir é o ângulo formado pelos vetores e . Para isso, vamos usar conceitos de vetores, produto escalar e trigonometria.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os vetores e . Isso acontece subtraindo as coordenadas do ponto A das coordenadas dos pontos B e C, respectivamente.
Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto escalar dos vetores e . O produto escalar é uma operação que combina dois vetores e dá um número que nos ajuda a encontrar o ângulo entre eles. A fórmula é:

Passo 4

Em seguida, precisamos calcular a magnitude (ou comprimento) de cada vetor. A magnitude de um vetor é dada por:

Passo 5

Agora, vamos usar a fórmula que relaciona o produto escalar com o ângulo entre os vetores:
Onde é o ângulo que queremos encontrar. Podemos reorganizar a fórmula para encontrar :

Passo 6

Finalmente, para encontrar o ângulo , vamos usar a função arco cosseno ( ):
Calculando esse valor, obtemos aproximadamente:

Resposta

O ângulo formado pelos vetores e é aproximadamente .

Exercícios relacionados

Encontre para que cada igualdade abaixo seja válida.
Nas partes (a)-(f), determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
(a) e forem bases de um espaço vetorial , então existe uma matriz de transição de para .
(b) Matrizes de transição são invertíveis.
© Se for uma base do espaço vetorial , então é a matriz identidade.
(d) Se for uma matriz diagonal, então cada vetor em é um múltiplo escalar de algum vetor em .
(e) Se cada vetor em for um múltiplo escalar de algum vetor em , então é uma matriz diagonal.
(f) for uma matriz quadrada, então , usando certas bases e de .
Sejam e subespaços de .
© ? Justifique.