Considere os pontos e . Determine o ângulo formado pelos vetores .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem três pontos no espaço: , e . O que a gente precisa descobrir é o ângulo formado pelos vetores e . Para isso, vamos usar conceitos de vetores, produto escalar e trigonometria.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os vetores e . Isso acontece subtraindo as coordenadas do ponto A das coordenadas dos pontos B e C, respectivamente.
Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto escalar dos vetores e . O produto escalar é uma operação que combina dois vetores e dá um número que nos ajuda a encontrar o ângulo entre eles. A fórmula é:
Passo 4
Em seguida, precisamos calcular a magnitude (ou comprimento) de cada vetor. A magnitude de um vetor é dada por:
Passo 5
Agora, vamos usar a fórmula que relaciona o produto escalar com o ângulo entre os vetores:
Onde é o ângulo que queremos encontrar. Podemos reorganizar a fórmula para encontrar :
Passo 6
Finalmente, para encontrar o ângulo , vamos usar a função arco cosseno ():
Calculando esse valor, obtemos aproximadamente:
Resposta
O ângulo formado pelos vetores e é aproximadamente .