Mostre que: n^3=n!(1 /(n-1)!+3 /(n-2)!+1 /(n-3)!)

Passo 1

Entendendo o Problema e os Conceitos Envolvidos
Vamos começar resumindo o que precisamos fazer. A questão nos pede para mostrar que:
n^3 = n! ( 1(n-1)! + 3(n-2)! + 1(n-3)! )
Aqui, estamos lidando com fatorial, que é representado por e significa o produto de todos os números inteiros positivos até . Por exemplo, .
Para resolver esse exercício, vamos precisar manipular expressões fatoriais e simplificar a equação passo a passo para mostrar que os dois lados são iguais.

Passo 2

Simplificando os Termos Fatoriais
Vamos começar simplificando cada termo dentro dos parênteses no lado direito da equação.
  1. Primeiro Termo:
    1(n-1)!
  2. Segundo Termo:
    3(n-2)!
  3. Terceiro Termo:
    1(n-3)!
Agora, vamos multiplicar cada termo por n! times 1(n-1)! + n! times 3(n-2)! + n! times 1(n-3)! :

Passo 3

Simplificando Cada Fração Fatorial
Sabemos que n! times 1(n-1)! = n times (n-1)! times 1(n-1)! = n . Vamos usar isso para simplificar os termos:
  1. Primeiro Termo:
    n! times 3(n-2)! = 3 times n times (n-1) times (n-2)! times 1(n-2)! = 3n(n-1)
  2. Segundo Termo:
    n! times 1(n-3)! = n times (n-1) times (n-2) times (n-3)! times 1(n-3)! = n(n-1)(n-2)
  3. Terceiro Termo:

Passo 4

Somando os Termos Simplificados
Agora, somamos os três termos que simplificamos:
n + 3n(n-1) + n(n-1)(n-2)
Vamos desenvolver cada parte:
  1. Desenvolvendo 3n(n-1) = 3n^2 - 3n :
    n(n-1)(n-2) = n^3 - 3n^2 + 2n
  2. Desenvolvendo n + (3n^2 - 3n) + (n^3 - 3n^2 + 2n) :
Agora, substituímos de volta na soma:

Passo 5

Combinando Termos Semelhantes
Vamos somar todos os termos:
n + 3n^2 - 3n + n^3 - 3n^2 + 2n
Agora, combinando os termos semelhantes:
  • Termos com n^3 :
    3n^2 - 3n^2 = 0
  • Termos com n - 3n + 2n = 0 :
    n^3
  • Termos com :
Portanto, a soma total é:

Resposta

Após simplificar e combinar todos os termos, mostramos que:
n^3 = n! ( 1(n-1)! + 3(n-2)! + 1(n-3)! )

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