Mostre que:
Passo 1
Entendendo o Problema e os Conceitos Envolvidos
Vamos começar resumindo o que precisamos fazer. A questão nos pede para mostrar que:
Aqui, estamos lidando com fatorial, que é representado por
e significa o produto de todos os números inteiros positivos até
. Por exemplo,
.
Para resolver esse exercício, vamos precisar manipular expressões fatoriais e simplificar a equação passo a passo para mostrar que os dois lados são iguais.
Passo 2
Simplificando os Termos Fatoriais
Vamos começar simplificando cada termo dentro dos parênteses no lado direito da equação.
-
Primeiro Termo:
-
Segundo Termo:
-
Terceiro Termo:
Agora, vamos multiplicar cada termo por
:
Passo 3
Simplificando Cada Fração Fatorial
Sabemos que
. Vamos usar isso para simplificar os termos:
-
Primeiro Termo:
-
Segundo Termo:
-
Terceiro Termo:
Passo 4
Somando os Termos Simplificados
Agora, somamos os três termos que simplificamos:
Vamos desenvolver cada parte:
-
Desenvolvendo
: -
Desenvolvendo
:
Agora, substituímos de volta na soma:
Passo 5
Combinando Termos Semelhantes
Vamos somar todos os termos:
Agora, combinando os termos semelhantes:
-
Termos com
: -
Termos com
: -
Termos com
:
Portanto, a soma total é:
Resposta
Após simplificar e combinar todos os termos, mostramos que: