Mostre que se
então
nunca é um número primo.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos mostrar que, para todo número inteiro
maior ou igual a 2, a expressão
nunca resulta em um número primo. Para resolver isso, vamos precisar usar a fatoração de expressões algébricas, especificamente a fatoração de somas de cubos.
Passo 2
Vamos lembrar como fatorar uma soma de cubos. A fórmula para fatorar
é:
No nosso caso, temos
. Podemos reescrever 1 como
, então:
Passo 3
Aplicando a fórmula da soma de cubos, temos:
Passo 4
Agora, analisamos os fatores obtidos:
e
. Para que
seja primo, um dos fatores deve ser 1, já que números primos têm exatamente dois divisores: 1 e eles mesmos.
Vamos verificar se algum dos fatores pode ser 1 para
:
-
Se
: Mas, então isso não é possível. -
Se
: As soluções sãoou , mas novamente, , então isso também não é possível.
Passo 5
Como nenhum dos fatores pode ser 1 para
, isso significa que
é o produto de dois fatores maiores que 1, ou seja, não pode ser um número primo.
Resposta
Para todo
,
nunca é um número primo, já que sempre pode ser fatorado em
, onde ambos os fatores são maiores que 1.
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