Mostre que se então nunca é um número primo.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos mostrar que, para todo número inteiro maior ou igual a 2, a expressão nunca resulta em um número primo. Para resolver isso, vamos precisar usar a fatoração de expressões algébricas, especificamente a fatoração de somas de cubos.

Passo 2

Vamos lembrar como fatorar uma soma de cubos. A fórmula para fatorar é:
No nosso caso, temos . Podemos reescrever 1 como , então:

Passo 3

Aplicando a fórmula da soma de cubos, temos:

Passo 4

Agora, analisamos os fatores obtidos: e . Para que seja primo, um dos fatores deve ser 1, já que números primos têm exatamente dois divisores: 1 e eles mesmos.
Vamos verificar se algum dos fatores pode ser 1 para :
  1. Se :
    Mas , então isso não é possível.
  2. Se :
    As soluções são ou , mas novamente, , então isso também não é possível.

Passo 5

Como nenhum dos fatores pode ser 1 para , isso significa que é o produto de dois fatores maiores que 1, ou seja, não pode ser um número primo.

Resposta

Para todo , nunca é um número primo, já que sempre pode ser fatorado em , onde ambos os fatores são maiores que 1.

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