Mostre que existem
tais que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que existe uma combinação linear dos números inteiros
que é igual ao máximo divisor comum (mdc) desses números. Estamos trabalhando com a teoria de números, mais especificamente com o Teorema de Bézout. Para resolver isso, vamos precisar entender como expressar o mdc como uma combinação linear dos números dados.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o máximo divisor comum (mdc). O mdc de
é o maior número inteiro que divide todos esses números sem deixar resto. Por exemplo, o mdc de 8 e 12 é 4, porque 4 é o maior número que divide tanto 8 quanto 12.
Passo 3
O próximo passo é entender o que é uma combinação linear. Uma combinação linear de
significa multiplicar cada número por um certo inteiro
e somar todos esses produtos. Em fórmulas, fica assim:
Nosso objetivo é mostrar que essa soma pode ser igual ao mdc dos números.
Passo 4
Vamos utilizar o Teorema de Bézout, que afirma que para quaisquer inteiros
e
, existe uma combinação linear
. Vamos estender essa ideia para mais de dois números.
Passo 5
Para mais de dois números, podemos aplicar o Teorema de Bézout de forma iterativa. Primeiro, encontramos o mdc de
e
, depois usamos esse mdc para encontrar o mdc com
, e assim por diante, até chegar ao mdc de todos os
.
Passo 6
Em cada etapa, como estamos usando o Teorema de Bézout, garantimos que podemos expressar o mdc como uma combinação linear dos números considerados até então. Isso significa que, ao final do processo, teremos coeficientes
tais que:
Resposta
Assim, mostramos que existem inteiros
que satisfazem a equação
.
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