Mostre que existem tais que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que existe uma combinação linear dos números inteiros que é igual ao máximo divisor comum (mdc) desses números. Estamos trabalhando com a teoria de números, mais especificamente com o Teorema de Bézout. Para resolver isso, vamos precisar entender como expressar o mdc como uma combinação linear dos números dados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o máximo divisor comum (mdc). O mdc de é o maior número inteiro que divide todos esses números sem deixar resto. Por exemplo, o mdc de 8 e 12 é 4, porque 4 é o maior número que divide tanto 8 quanto 12.

Passo 3

O próximo passo é entender o que é uma combinação linear. Uma combinação linear de significa multiplicar cada número por um certo inteiro e somar todos esses produtos. Em fórmulas, fica assim:
Nosso objetivo é mostrar que essa soma pode ser igual ao mdc dos números.

Passo 4

Vamos utilizar o Teorema de Bézout, que afirma que para quaisquer inteiros e , existe uma combinação linear . Vamos estender essa ideia para mais de dois números.

Passo 5

Para mais de dois números, podemos aplicar o Teorema de Bézout de forma iterativa. Primeiro, encontramos o mdc de e , depois usamos esse mdc para encontrar o mdc com , e assim por diante, até chegar ao mdc de todos os .

Passo 6

Em cada etapa, como estamos usando o Teorema de Bézout, garantimos que podemos expressar o mdc como uma combinação linear dos números considerados até então. Isso significa que, ao final do processo, teremos coeficientes tais que:

Resposta

Assim, mostramos que existem inteiros que satisfazem a equação .

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