Mostre que para todo é sempre divisível por 30 .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para mostrar que, para todo número inteiro , a expressão é sempre divisível por 30. Isso está no campo da Teoria dos Números, mais especificamente em propriedades de divisibilidade. Para resolver, vamos verificar se é divisível por 2, 3 e 5, já que .

Passo 2

Primeiro, vamos ver se é divisível por 2. Sabemos que qualquer inteiro é par ou ímpar:
  • Se é par, então é divisível por 2, então também é divisível por 2, e a diferença será divisível por 2.
  • Se é ímpar, também será ímpar (já que potência de ímpar continua ímpar). A diferença de dois números ímpares é par, ou seja, divisível por 2.
Então, sempre é divisível por 2.

Passo 3

Agora, vamos verificar a divisibilidade por 3. Usamos o Pequeno Teorema de Fermat, que diz que para um número inteiro e primo , se não divide , então . Aqui, :
  • Se não é múltiplo de 3, então , multiplicando por temos , e seguindo até . Então, .
  • Se é múltiplo de 3, claramente também é múltiplo de 3.
Portanto, é divisível por 3.

Passo 4

Por último, vamos ver a divisibilidade por 5. Aplicamos novamente o Pequeno Teorema de Fermat com :
  • Se não é múltiplo de 5, então , multiplicando por temos , e assim .
  • Se é múltiplo de 5, obviamente também é múltiplo de 5.
Logo, é divisível por 5.

Resposta

Como é divisível por 2, 3 e 5, então é divisível por . Portanto, para todo , é sempre divisível por 30.

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