Mostre que para todo
é sempre divisível por 30 .
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para mostrar que, para todo número inteiro
, a expressão
é sempre divisível por 30. Isso está no campo da Teoria dos Números, mais especificamente em propriedades de divisibilidade. Para resolver, vamos verificar se
é divisível por 2, 3 e 5, já que
.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se
é divisível por 2. Sabemos que qualquer inteiro
é par ou ímpar:
- Se
é par, então é divisível por 2, então também é divisível por 2, e a diferença será divisível por 2. - Se
é ímpar, também será ímpar (já que potência de ímpar continua ímpar). A diferença de dois números ímpares é par, ou seja, divisível por 2.
Então,
sempre é divisível por 2.
Passo 3
Agora, vamos verificar a divisibilidade por 3. Usamos o Pequeno Teorema de Fermat, que diz que para um número inteiro
e primo
, se
não divide
, então
. Aqui,
:
- Se
não é múltiplo de 3, então , multiplicando por temos , e seguindo até . Então, . - Se
é múltiplo de 3, claramente também é múltiplo de 3.
Portanto,
é divisível por 3.
Passo 4
Por último, vamos ver a divisibilidade por 5. Aplicamos novamente o Pequeno Teorema de Fermat com
:
- Se
não é múltiplo de 5, então , multiplicando por temos , e assim . - Se
é múltiplo de 5, obviamente também é múltiplo de 5.
Logo,
é divisível por 5.
Resposta
Como
é divisível por 2, 3 e 5, então é divisível por
. Portanto, para todo
,
é sempre divisível por 30.
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