Mostre que se
e
independentes, então
. Lembre-se que
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas variáveis aleatórias,
e
, que seguem distribuições de Poisson com parâmetros
e
respectivamente. Além disso, essas duas variáveis são independentes. A tarefa é mostrar que a soma dessas duas variáveis,
, também segue uma distribuição de Poisson, mas com parâmetro
. Para resolver isso, vamos utilizar as propriedades das distribuições de Poisson e a independência das variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a função de massa de probabilidade (fmp) de uma variável aleatória que segue a distribuição de Poisson. Para uma variável
, a fmp é dada por:
Aqui,
é o parâmetro da distribuição, que representa a taxa média de ocorrências.
Passo 3
Como
e
são independentes, a fmp da soma
pode ser obtida pela convolução das fmps de
e
. A convolução para duas variáveis discretas é dada por:
Isso significa que para cada valor possível de
, multiplicamos a probabilidade de
pela probabilidade de
e somamos todos esses produtos.
Passo 4
Substituindo as fmps de
e
na equação da convolução, temos:
Podemos fatorar
e
fora da soma:
Passo 5
Observamos que a expressão dentro da soma se parece com o termo geral do desenvolvimento binomial. De fato, reconhecemos que:
Portanto, substituindo de volta:
Resposta
Assim, mostramos que a soma
segue uma distribuição de Poisson com parâmetro
, ou seja: