Mostre que se N sim Poisson(lambda) e M sim Poisson(mu) independentes, então N+M sim Poisson(lambda+mu). Lembre-se que
(a+b)^n=sumk=0^nbinomnk a^k b^n-k

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas variáveis aleatórias, e , que seguem distribuições de Poisson com parâmetros e respectivamente. Além disso, essas duas variáveis são independentes. A tarefa é mostrar que a soma dessas duas variáveis, , também segue uma distribuição de Poisson, mas com parâmetro . Para resolver isso, vamos utilizar as propriedades das distribuições de Poisson e a independência das variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a função de massa de probabilidade (fmp) de uma variável aleatória que segue a distribuição de Poisson. Para uma variável P(K = k) = e^-theta theta^kk!, k = 0, 1, 2, dots , a fmp é dada por:
Aqui, é o parâmetro da distribuição, que representa a taxa média de ocorrências.

Passo 3

Como P(N + M = k) = sumi=0^k P(N = i) cdot P(M = k - i) e são independentes, a fmp da soma pode ser obtida pela convolução das fmps de e . A convolução para duas variáveis discretas é dada por:
Isso significa que para cada valor possível de , multiplicamos a probabilidade de pela probabilidade de e somamos todos esses produtos.

Passo 4

Substituindo as fmps de P(N + M = k) = sumi=0^k e^-lambda lambda^ii! cdot e^-mu mu^k - i(k - i)! e P(N + M = k) = e^-(lambda + mu) sumi=0^k lambda^i mu^k - ii!(k - i)! na equação da convolução, temos:
Podemos fatorar e fora da soma:

Passo 5

Observamos que a expressão dentro da soma se parece com o termo geral do desenvolvimento binomial. De fato, reconhecemos que:
sumi=0^k lambda^i mu^k - ii!(k - i)! = (lambda + mu)^kk!
Portanto, substituindo de volta:
P(N + M = k) = e^-(lambda + mu) (lambda + mu)^kk!

Resposta

Assim, mostramos que a soma N + M sim Poisson(lambda + mu) segue uma distribuição de Poisson com parâmetro , ou seja:

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