Os tubos de imagem de aparelhos de televisão fabricados pela indústria A têm vida útil média de 6,5 anos e variância de 0,81 (anos) ^2, enquanto aqueles fabricados pela indústria B têm vida útil média de 6,0 anos e variância de 0,64 (anos) ^2. Qual é a probabilidade de que uma amostra aleatória de 36 tubos do fabricante A tenha vida útil média de pelo menos um ano a mais do que a vida útil média de uma amostra aleatória de 49 tubos do fabricante B.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois fabricantes de tubos de TV, o A e o B. Sabemos a vida útil média e a variância de cada um:
  • Fabricante A: média de 6,5 anos e variância de 0,81 anos².
  • Fabricante B: média de 6,0 anos e variância de 0,64 anos².
A pergunta quer saber qual a probabilidade de que, ao pegar uma amostra aleatória de 36 tubos do fabricante A e uma amostra de 49 tubos do fabricante B, a média dos tubos do fabricante A seja pelo menos um ano maior que a média dos tubos do fabricante B. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estatística, especificamente a distribuição da média amostral e a diferença entre médias.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a média de uma amostra segue uma distribuição normal se a amostra for grande o suficiente, de acordo com o Teorema Central do Limite. Aqui, nossas amostras têm 36 e 49 tubos, que são consideradas grandes.
Vamos calcular o desvio padrão das médias amostrais para cada fabricante. A fórmula para o desvio padrão da média amostral é:
sigmabarX = sigmaraizn
onde é o desvio padrão da população e é o tamanho da amostra.

Passo 3

Calculando o desvio padrão para o fabricante A:
sigmaA = raiz0,81 = 0,9 anos
sigmabarXA = 0,9raiz36 = 0,96 = 0,15 anos
Agora, para o fabricante B:
sigmaB = raiz0,64 = 0,8 anos
sigmabarXB = 0,8raiz49 = 0,87 approx 0,1143 anos

Passo 4

Agora, queremos encontrar a distribuição da diferença das médias mubarXA - barXB = muA - muB = 6,5 - 6,0 = 0,5 anos . A média dessa diferença será:
sigmabarXA - barXB = raizsigmabarXA^2 + sigmabarXB^2 = raiz0,15^2 + 0,1143^2 approx raiz0,0225 + 0,01306 approx raiz0,03556 approx 0,1885 anos
E o desvio padrão da diferença será:

Passo 5

Queremos encontrar a probabilidade de que z = X - musigma . Vamos transformar isso em um valor z usando a fórmula:
z = 1 - 0,50,1885 approx 0,50,1885 approx 2,655
Aqui, é 1 ano a mais que a média das diferenças, que é 0,5 anos. Então:

Passo 6

Agora, precisamos encontrar a probabilidade correspondente a P(z >= 2,655) approx 0,004 na tabela da distribuição normal padrão. Isso representa a área à direita de z = 2,655.
Consultando a tabela ou usando uma calculadora, vemos que:

Resposta

A probabilidade de que a média da vida útil dos tubos do fabricante A seja pelo menos um ano maior que a do fabricante B é aproximadamente 0,4%.

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