Mostre se é ou não espaço vetorial real cada um dos conjuntos abaixo com as respectivas operações.
V=R^2,
Adição: (x1, x2) oplus(y1, y2)=(x1, x2),
Multiplicação por escalar: alpha(x1, x2)=(alpha x1, alpha x2);

Passo 1

Então, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos o conjunto , que são todos os pares ordenados de números reais. As operações definidas são uma adição específica e a multiplicação por escalar comum. Nosso objetivo é verificar se, com essas operações, forma ou não um espaço vetorial real. Para isso, vamos precisar lembrar das propriedades que definem um espaço vetorial e verificar se elas são satisfeitas aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre o conjunto dos números reais precisa satisfazer oito axiomas básicos, como fechamento sob adição e multiplicação por escalar, existência de elemento neutro, inversos aditivos, e as propriedades de associatividade, comutatividade da adição, e distribuição da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores e de escalares.

Passo 3

Vamos começar verificando o fechamento sob adição. A definição dada para a adição é:
(x1, x2) oplus (y1, y2) = (x1, x2)
Isso significa que, ao somar dois vetores, o resultado é apenas o primeiro vetor. Isso é problemático porque não estamos realmente “somando” os vetores.

Passo 4

Agora, vamos verificar se existe um elemento neutro para a adição. O elemento neutro seria um vetor que, quando somado a qualquer outro vetor, retorna o próprio vetor. Usando a definição dada:
(x1, x2) oplus (0, 0) = (x1, x2)
Parece que funciona como elemento neutro aqui. Então, essa propriedade está satisfeita.

Passo 5

Em seguida, verificamos se existem inversos aditivos. Ou seja, para cada vetor (x1, x2) oplus (-x1, -x2) = (0, 0) , deve existir um vetor (x1, x2) oplus (-x1, -x2) = (x1, x2) tal que:
Mas, segundo a definição da adição dada:
O que não é igual a . Portanto, não existem inversos aditivos.

Passo 6

Além disso, vamos verificar a associatividade da adição. Para quaisquer vetores (u oplus v) oplus w = u oplus (v oplus w) :
(x1, x2) oplus (y1, y2) = (x1, x2)
Usando a definição dada:
(u oplus v) oplus w = u oplus w = u
Então:
u oplus (v oplus w) = u oplus v = u
E:
Parece que a associatividade é satisfeita aqui, mas como já identificamos uma falha anterior, isso não compensa.

Passo 7

Por último, vamos verificar a distribuição da multiplicação por escalar sobre a adição de vetores. Para um escalar alpha cdot (u oplus v) = alpha cdot u oplus alpha cdot v e vetores alpha cdot (u oplus v) = alpha cdot (x1, x2) = (alpha x1, alpha x2) :
alpha cdot u oplus alpha cdot v = (alpha x1, alpha x2) oplus (alpha y1, alpha y2) = (alpha x1, alpha x2)
Usando as definições dadas:
E:
Eles são iguais, então essa propriedade está satisfeita.

Resposta

Não, o conjunto com as operações dadas não é um espaço vetorial real, pois não satisfaz a existência de inversos aditivos.

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Mostre se é ou não espaço vetorial real cada um dos conjuntos abaixo com as respectivas operações.
V=R^2,
Adição: (x1, x2)+(y1, y2)=(x1+y1, x2+y2),
Multiplicação por escalar: alpha odot(x1, x2)=(alpha x1, x2);
Encontre os pontos da reta
r: X=(2,0,2)+alpha(-1,1,-2)
que distam raiz6 do plano pi: x-2 y-z-1=0.
Mostre se é ou não espaço vetorial real cada um dos conjuntos abaixo com as respectivas operações.
V é o conjunto de todos os polinômios de grau 3, com adição e multiplicação por escalar usuais.
Em R^4, calcule:
i. (1,3,2,-1)+(0,7,-2,8)