Mostre se é ou não espaço vetorial real cada um dos conjuntos abaixo com as respectivas operações.
,
Adição:
,
Multiplicação por escalar:
;
Adição:
Multiplicação por escalar:
Passo 1
Então, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos o conjunto
, que são todos os pares ordenados de números reais. As operações definidas são uma adição específica e a multiplicação por escalar comum. Nosso objetivo é verificar se, com essas operações,
forma ou não um espaço vetorial real. Para isso, vamos precisar lembrar das propriedades que definem um espaço vetorial e verificar se elas são satisfeitas aqui.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre o conjunto dos números reais precisa satisfazer oito axiomas básicos, como fechamento sob adição e multiplicação por escalar, existência de elemento neutro, inversos aditivos, e as propriedades de associatividade, comutatividade da adição, e distribuição da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores e de escalares.
Passo 3
Vamos começar verificando o fechamento sob adição. A definição dada para a adição é:
Isso significa que, ao somar dois vetores, o resultado é apenas o primeiro vetor. Isso é problemático porque não estamos realmente “somando” os vetores.
Passo 4
Agora, vamos verificar se existe um elemento neutro para a adição. O elemento neutro seria um vetor que, quando somado a qualquer outro vetor, retorna o próprio vetor. Usando a definição dada:
Parece que
funciona como elemento neutro aqui. Então, essa propriedade está satisfeita.
Passo 5
Em seguida, verificamos se existem inversos aditivos. Ou seja, para cada vetor
, deve existir um vetor
tal que:
Mas, segundo a definição da adição dada:
O que não é igual a
. Portanto, não existem inversos aditivos.
Passo 6
Além disso, vamos verificar a associatividade da adição. Para quaisquer vetores
:
Usando a definição dada:
Então:
E:
Parece que a associatividade é satisfeita aqui, mas como já identificamos uma falha anterior, isso não compensa.
Passo 7
Por último, vamos verificar a distribuição da multiplicação por escalar sobre a adição de vetores. Para um escalar
e vetores
:
Usando as definições dadas:
E:
Eles são iguais, então essa propriedade está satisfeita.
Resposta
Não, o conjunto
com as operações dadas não é um espaço vetorial real, pois não satisfaz a existência de inversos aditivos.
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Mostre se é ou não espaço vetorial real cada um dos conjuntos abaixo com as respectivas operações.
,
Adição: ,
Multiplicação por escalar: ;
Adição:
Multiplicação por escalar:
Encontre os pontos da reta
que distam
do plano
.
Mostre se é ou não espaço vetorial real cada um dos conjuntos abaixo com as respectivas operações.
é o conjunto de todos os polinômios de grau 3, com adição e multiplicação por escalar usuais.
i.