Mostre se é ou não espaço vetorial real cada um dos conjuntos abaixo com as respectivas operações.
V é o conjunto de todos os polinômios de grau 3, com adição e multiplicação por escalar usuais.

Passo 1

Beleza, vamos entender qual é a questão. Queremos saber se o conjunto , que é formado por todos os polinômios de grau 3, com as operações de adição e multiplicação por escalar que a gente conhece, é um espaço vetorial real. Para resolver isso, vamos precisar lembrar o que define um espaço vetorial e verificar se atende a todas essas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre os reais precisa satisfazer algumas propriedades, como ter um elemento neutro (o vetor zero), ser fechado em relação à adição e à multiplicação por escalar, entre outras. Vamos checar essas propriedades para o conjunto .

Passo 3

Vamos começar verificando se tem o vetor zero. No caso dos polinômios, o vetor zero seria o polinômio . Mas atenção: esse polinômio não tem grau 3, ele é do grau zero. Como só inclui polinômios de grau exatamente 3, o vetor zero não está em . Isso já é um problema, porque todo espaço vetorial precisa ter o vetor zero.

Passo 4

Além disso, vamos ver se é fechado sob adição. Se pegarmos dois polinômios de grau 3, por exemplo, e , a soma ainda é um polinômio de grau 3, desde que . Porém, se , o grau pode ser menor. Isso mostra que nem sempre a soma está em .

Passo 5

Também vamos olhar a multiplicação por escalar. Se multiplicarmos um polinômio de grau 3 por um escalar diferente de zero, o resultado ainda é um polinômio de grau 3. Mas se o escalar for zero, obtemos o polinômio zero, que não está em . Assim, não é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 6

Como vimos, não contém o vetor zero e não é fechado sob adição e multiplicação por escalar em todos os casos. Essas falhas significam que não atende às propriedades necessárias para ser um espaço vetorial.

Resposta

Portanto, o conjunto de todos os polinômios de grau 3, com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar, não é um espaço vetorial real.

Exercícios relacionados

Mostre se é ou não espaço vetorial real cada um dos conjuntos abaixo com as respectivas operações.
V=R^2,
Adição: (x1, x2) oplus(y1, y2)=(x1, x2),
Multiplicação por escalar: alpha(x1, x2)=(alpha x1, alpha x2);
Mostre se é ou não espaço vetorial real cada um dos conjuntos abaixo com as respectivas operações.
V=R^2,
Adição: (x1, x2)+(y1, y2)=(x1+y1, x2+y2),
Multiplicação por escalar: alpha odot(x1, x2)=(alpha x1, x2);
Em R^4, calcule:
i. (1,3,2,-1)+(0,7,-2,8)
Em R^4, calcule:
iii. 2(1,1,1,1)-3(2,3,-4,5)