Mostre se é ou não espaço vetorial real cada um dos conjuntos abaixo com as respectivas operações.
é o conjunto de todos os polinômios de grau 3, com adição e multiplicação por escalar usuais.
Passo 1
Beleza, vamos entender qual é a questão. Queremos saber se o conjunto
, que é formado por todos os polinômios de grau 3, com as operações de adição e multiplicação por escalar que a gente conhece, é um espaço vetorial real. Para resolver isso, vamos precisar lembrar o que define um espaço vetorial e verificar se
atende a todas essas condições.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre os reais precisa satisfazer algumas propriedades, como ter um elemento neutro (o vetor zero), ser fechado em relação à adição e à multiplicação por escalar, entre outras. Vamos checar essas propriedades para o conjunto
.
Passo 3
Vamos começar verificando se
tem o vetor zero. No caso dos polinômios, o vetor zero seria o polinômio
. Mas atenção: esse polinômio não tem grau 3, ele é do grau zero. Como
só inclui polinômios de grau exatamente 3, o vetor zero não está em
. Isso já é um problema, porque todo espaço vetorial precisa ter o vetor zero.
Passo 4
Além disso, vamos ver se
é fechado sob adição. Se pegarmos dois polinômios de grau 3, por exemplo,
e
, a soma
ainda é um polinômio de grau 3, desde que
. Porém, se
, o grau pode ser menor. Isso mostra que nem sempre a soma está em
.
Passo 5
Também vamos olhar a multiplicação por escalar. Se multiplicarmos um polinômio de grau 3 por um escalar diferente de zero, o resultado ainda é um polinômio de grau 3. Mas se o escalar for zero, obtemos o polinômio zero, que não está em
. Assim,
não é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 6
Como vimos,
não contém o vetor zero e não é fechado sob adição e multiplicação por escalar em todos os casos. Essas falhas significam que
não atende às propriedades necessárias para ser um espaço vetorial.
Resposta
Portanto, o conjunto
de todos os polinômios de grau 3, com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar, não é um espaço vetorial real.
Exercícios relacionados
Mostre se é ou não espaço vetorial real cada um dos conjuntos abaixo com as respectivas operações.
,
Adição: ,
Multiplicação por escalar: ;
Adição:
Multiplicação por escalar:
Mostre se é ou não espaço vetorial real cada um dos conjuntos abaixo com as respectivas operações.
,
Adição: ,
Multiplicação por escalar: ;
Adição:
Multiplicação por escalar:
i.
iii.