Mostre que, para uma partícula livre de massa m movendo-se em uma dimensão, a função é uma solução para a equação de Schrödinger independente do tempo para quaisquer valores das constantes A e B .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma partícula livre com massa se movendo numa dimensão, e queremos mostrar que a função de onda resolve a equação de Schrödinger independente do tempo. Isso está ligado à mecânica quântica, onde a equação de Schrödinger descreve como a função de onda da partícula se comporta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a equação de Schrödinger independente do tempo para uma partícula livre. Ela é dada por:
Aqui, é a constante de Planck reduzida, é a massa da partícula, é a energia, e é a função de onda que queremos verificar.

Passo 3

Nosso objetivo é substituir na equação de Schrödinger e ver se a igualdade se sustenta para quaisquer valores de e . Primeiro, vamos calcular a segunda derivada de em relação a .

Passo 4

Calculando a primeira derivada de :
Agora, a segunda derivada:

Passo 5

Substituindo na equação de Schrödinger:
Simplificando os sinais:

Passo 6

Notamos que está presente nos dois lados da equação, então podemos cancelar esse termo (desde que não seja zero). Assim, ficamos com:

Passo 7

Essa equação nos mostra que a energia está relacionada ao vetor de onda pela expressão:
Isso confirma que, para qualquer valor de e , a função satisfaz a equação de Schrödinger independente do tempo, desde que a energia seja .

Resposta

A função é, de fato, uma solução para a equação de Schrödinger independente do tempo para quaisquer constantes e , desde que a energia seja .

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A função de onda para o estado de menor energia de um oscilador harmônico simples, constituído de um partícula de massa m sob ação de uma força restauradora linear cuja constante é , , pode ser expressa como:
onde A é uma constante real, podendo assumir qualquer valor. (a) Verifique que essa expressão é uma solução da equação de Schrödinger com potencial apropriado.
(b) Normalize a função de onda do oscilador harmônico simples e determinando o valor da constante arbitrária .
© Ainda considerando o oscilador harmônico citado anteriormente, calcule a sua densidade de probabilidade.
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