Mostre que, para uma partícula livre de massa m movendo-se em uma dimensão, a função psi(x)=A sin k x+B cos k x é uma solução para a equação de Schrödinger independente do tempo para quaisquer valores das constantes A e B .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma partícula livre com massa se movendo numa dimensão, e queremos mostrar que a função de onda resolve a equação de Schrödinger independente do tempo. Isso está ligado à mecânica quântica, onde a equação de Schrödinger descreve como a função de onda da partícula se comporta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a equação de Schrödinger independente do tempo para uma partícula livre. Ela é dada por:
-hbar^22m d^2 psi(x)dx^2 = E psi(x)
Aqui, é a constante de Planck reduzida, é a massa da partícula, é a energia, e é a função de onda que queremos verificar.

Passo 3

Nosso objetivo é substituir na equação de Schrödinger e ver se a igualdade se sustenta para quaisquer valores de e . Primeiro, vamos calcular a segunda derivada de em relação a .

Passo 4

Calculando a primeira derivada de dpsi(x)dx = A k cos(kx) - B k sin(kx) :
d^2 psi(x)dx^2 = -A k^2 sin(kx) - B k^2 cos(kx)
Agora, a segunda derivada:

Passo 5

Substituindo -hbar^22m ( -A k^2 sin(kx) - B k^2 cos(kx) ) = E (A sin(kx) + B cos(kx)) na equação de Schrödinger:
hbar^2 k^22m (A sin(kx) + B cos(kx)) = E (A sin(kx) + B cos(kx))
Simplificando os sinais:

Passo 6

Notamos que hbar^2 k^22m = E está presente nos dois lados da equação, então podemos cancelar esse termo (desde que não seja zero). Assim, ficamos com:

Passo 7

Essa equação nos mostra que a energia E = hbar^2 k^22m está relacionada ao vetor de onda pela expressão:
Isso confirma que, para qualquer valor de e , a função satisfaz a equação de Schrödinger independente do tempo, desde que a energia seja .

Resposta

A função é, de fato, uma solução para a equação de Schrödinger independente do tempo para quaisquer constantes e , desde que a energia seja .

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