Mostre que, para uma partícula livre de massa m movendo-se em uma dimensão, a função
é uma solução para a equação de Schrödinger independente do tempo para quaisquer valores das constantes A e B .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma partícula livre com massa
se movendo numa dimensão, e queremos mostrar que a função de onda
resolve a equação de Schrödinger independente do tempo. Isso está ligado à mecânica quântica, onde a equação de Schrödinger descreve como a função de onda da partícula se comporta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a equação de Schrödinger independente do tempo para uma partícula livre. Ela é dada por:
Aqui,
é a constante de Planck reduzida,
é a massa da partícula,
é a energia, e
é a função de onda que queremos verificar.
Passo 3
Nosso objetivo é substituir
na equação de Schrödinger e ver se a igualdade se sustenta para quaisquer valores de
e
. Primeiro, vamos calcular a segunda derivada de
em relação a
.
Passo 4
Calculando a primeira derivada de
:
Agora, a segunda derivada:
Passo 5
Substituindo
na equação de Schrödinger:
Simplificando os sinais:
Passo 6
Notamos que
está presente nos dois lados da equação, então podemos cancelar esse termo (desde que não seja zero). Assim, ficamos com:
Passo 7
Essa equação nos mostra que a energia
está relacionada ao vetor de onda
pela expressão:
Isso confirma que, para qualquer valor de
e
, a função
satisfaz a equação de Schrödinger independente do tempo, desde que a energia seja
.
Resposta
A função
é, de fato, uma solução para a equação de Schrödinger independente do tempo para quaisquer constantes
e
, desde que a energia seja
.