A função de onda para o estado de menor energia de um oscilador harmônico simples, constituído de um partícula de massa m sob ação de uma força restauradora linear cuja constante é , , pode ser expressa como:
onde A é uma constante real, podendo assumir qualquer valor. (a) Verifique que essa expressão é uma solução da equação de Schrödinger com potencial apropriado.
(b) Normalize a função de onda do oscilador harmônico simples e determinando o valor da constante arbitrária .
© Ainda considerando o oscilador harmônico citado anteriormente, calcule a sua densidade de probabilidade.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. Temos uma função de onda para a partícula no estado de menor energia de um oscilador harmônico simples. O enunciado pede para:
a) Verificar que essa função resolve a equação de Schrödinger com o potencial certo.
b) Normalizar a função de onda e achar o valor da constante .
c) Calcular a densidade de probabilidade da partícula.
Para isso, vamos precisar entender a equação de Schrödinger, como normalizar uma função de onda e o que significa a densidade de probabilidade.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a): verificar se a função realmente resolve a equação de Schrödinger. A equação de Schrödinger dependente do tempo para uma partícula em um potencial é:
A gente vai calcular as derivadas parciais de em relação a e , e ver qual potencial faz com que essa igualdade seja verdadeira.

Passo 3

Primeiro, vamos calcular a derivada de em relação ao tempo :
Multiplicando por :

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada de em relação a :
Primeiro, derivada primeira:
Derivada segunda:
Multiplicando por :

Passo 5

Agora, substituindo na equação de Schrödinger:
Simplificando, percebemos que os termos com se cancelam:

Passo 6

Isso implica que o potencial deve satisfazer:
Então, confirmamos que com esse potencial, a função realmente resolve a equação de Schrödinger.

Passo 7

Agora, vamos para a parte (b): normalizar a função de onda e encontrar . A normalização exige que:
Primeiro, calculamos :

Passo 8

A integral de fica:
Reconhecemos essa integral como uma integral gaussiana, que é:
Aqui, , então:

Passo 9

Resolvendo para :
Então,

Passo 10

Finalmente, na parte ©, precisamos encontrar a densidade de probabilidade, que é . Já calculamos isso na parte (b):
Substituindo :

Resposta

(a) A função satisfaz a equação de Schrödinger com potencial .
(b) A constante normalizada é .
© A densidade de probabilidade é .

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