A função de onda
para o estado de menor energia de um oscilador harmônico simples, constituído de um partícula de massa m sob ação de uma força restauradora linear cuja constante é ,
, pode ser expressa como:
onde A é uma constante real, podendo assumir qualquer valor. (a) Verifique que essa expressão é uma solução da equação de Schrödinger com potencial apropriado.
(b) Normalize a função de onda do oscilador harmônico simples e determinando o valor da constante arbitrária
.
© Ainda considerando o oscilador harmônico citado anteriormente, calcule a sua densidade de probabilidade.
(b) Normalize a função de onda do oscilador harmônico simples e determinando o valor da constante arbitrária
© Ainda considerando o oscilador harmônico citado anteriormente, calcule a sua densidade de probabilidade.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. Temos uma função de onda
para a partícula no estado de menor energia de um oscilador harmônico simples. O enunciado pede para:
a) Verificar que essa função resolve a equação de Schrödinger com o potencial certo.
b) Normalizar a função de onda e achar o valor da constante .
c) Calcular a densidade de probabilidade da partícula.
a) Verificar que essa função resolve a equação de Schrödinger com o potencial certo.
b) Normalizar a função de onda e achar o valor da constante
c) Calcular a densidade de probabilidade da partícula.
Para isso, vamos precisar entender a equação de Schrödinger, como normalizar uma função de onda e o que significa a densidade de probabilidade.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a): verificar se a função
realmente resolve a equação de Schrödinger. A equação de Schrödinger dependente do tempo para uma partícula em um potencial
é:
A gente vai calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
, e ver qual potencial
faz com que essa igualdade seja verdadeira.
Passo 3
Primeiro, vamos calcular a derivada de
em relação ao tempo
:
Multiplicando por
:
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
em relação a
:
Primeiro, derivada primeira:
Derivada segunda:
Multiplicando por
:
Passo 5
Agora, substituindo na equação de Schrödinger:
Simplificando, percebemos que os termos com
se cancelam:
Passo 6
Isso implica que o potencial
deve satisfazer:
Então, confirmamos que com esse potencial, a função
realmente resolve a equação de Schrödinger.
Passo 7
Agora, vamos para a parte (b): normalizar a função de onda e encontrar
. A normalização exige que:
Primeiro, calculamos
:
Passo 8
A integral de
fica:
Reconhecemos essa integral como uma integral gaussiana, que é:
Aqui,
, então:
Passo 9
Resolvendo para
:
Então,
Passo 10
Finalmente, na parte ©, precisamos encontrar a densidade de probabilidade, que é
. Já calculamos isso na parte (b):
Substituindo
:
Resposta
(a) A função
satisfaz a equação de Schrödinger com potencial
.
(b) A constante normalizada é
.
© A densidade de probabilidade é .
(b) A constante
© A densidade de probabilidade é
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Mostre que, para uma partícula livre de massa m movendo-se em uma dimensão, a função
é uma solução para a equação de Schrödinger independente do tempo para quaisquer valores das constantes A e B .
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é uma solução de
, com
. Aqui
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