A função de onda Psi(x, t) para o estado de menor energia de um oscilador harmônico simples, constituído de um partícula de massa m sob ação de uma força restauradora linear cuja constante é , C, pode ser expressa como:
Psi(x, t)=A e^-(raizC m / 2 hbar^2) x^2 e^-(i / 2) raizC / m t
onde A é uma constante real, podendo assumir qualquer valor. (a) Verifique que essa expressão é uma solução da equação de Schrödinger com potencial apropriado.
(b) Normalize a função de onda do oscilador harmônico simples e determinando o valor da constante arbitrária A.
© Ainda considerando o oscilador harmônico citado anteriormente, calcule a sua densidade de probabilidade.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. Temos uma função de onda para a partícula no estado de menor energia de um oscilador harmônico simples. O enunciado pede para:
a) Verificar que essa função resolve a equação de Schrödinger com o potencial certo.
b) Normalizar a função de onda e achar o valor da constante .
c) Calcular a densidade de probabilidade da partícula.
Para isso, vamos precisar entender a equação de Schrödinger, como normalizar uma função de onda e o que significa a densidade de probabilidade.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a): verificar se a função ihbar partial Psipartial t = -hbar^22m partial^2 Psipartial x^2 + V(x)Psi realmente resolve a equação de Schrödinger. A equação de Schrödinger dependente do tempo para uma partícula em um potencial é:
A gente vai calcular as derivadas parciais de em relação a e , e ver qual potencial faz com que essa igualdade seja verdadeira.

Passo 3

Primeiro, vamos calcular a derivada de partial Psipartial t = Psi(x, t) cdot (-i2 raizCm) em relação ao tempo ihbar partial Psipartial t = ihbar cdot Psi(x, t) cdot (-i2 raizCm) = hbar2 raizCm Psi(x, t) :
Multiplicando por :

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada de partial Psipartial x = Psi(x, t) cdot (-raizC mhbar^2 x) em relação a partial^2 Psipartial x^2 = Psi(x, t) cdot ((-raizC mhbar^2)^2 x^2 - raizC mhbar^2) = Psi(x, t) (C mhbar^4 x^2 - raizC mhbar^2) :
Primeiro, derivada primeira:
-hbar^22m partial^2 Psipartial x^2 = -hbar^22m Psi(x, t) (C mhbar^4 x^2 - raizC mhbar^2) = Psi(x, t) (-C2hbar^2 x^2 + raizC m hbar^22m hbar^2) = Psi(x, t) (-C2hbar^2 x^2 + raizC/m2)
Derivada segunda:
Multiplicando por :

Passo 5

Agora, substituindo na equação de Schrödinger:
hbar2 raizCm Psi(x, t) = -C2hbar^2 x^2 Psi(x, t) + raizCm2 Psi(x, t) + V(x)Psi(x, t)
Simplificando, percebemos que os termos com 0 = -C2hbar^2 x^2 Psi(x, t) + V(x)Psi(x, t) se cancelam:

Passo 6

Isso implica que o potencial V(x) = C2hbar^2 x^2 deve satisfazer:
Então, confirmamos que com esse potencial, a função realmente resolve a equação de Schrödinger.

Passo 7

Agora, vamos para a parte (b): normalizar a função de onda e encontrar integral-infty^infty |Psi(x, t)|^2 dx = 1 . A normalização exige que:
|Psi(x, t)|^2 = A^2 e^-2(raizC m / 2 hbar^2) x^2 e^0 = A^2 e^-raizC mhbar^2 x^2
Primeiro, calculamos :

Passo 8

A integral de A^2 integral-infty^infty e^-raizC mhbar^2 x^2 dx = 1 fica:
integral-infty^infty e^-a x^2 dx = raizpia
Reconhecemos essa integral como uma integral gaussiana, que é:
A^2 raizpi hbar^2raizC m = 1
Aqui, , então:

Passo 9

Resolvendo para A^2 = raizC mraizpi hbar :
A = (C mpi hbar^2)^1/4
Então,

Passo 10

Finalmente, na parte ©, precisamos encontrar a densidade de probabilidade, que é |Psi(x, t)|^2 = A^2 e^-raizC mhbar^2 x^2 . Já calculamos isso na parte (b):
|Psi(x, t)|^2 = raizC mraizpi hbar e^-raizC mhbar^2 x^2
Substituindo :

Resposta

(a) A função satisfaz a equação de Schrödinger com potencial .
(b) A constante normalizada é .
© A densidade de probabilidade é .

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