Usar
para demonstrar as relações trigonométricas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente usar a expressão
para demonstrar duas identidades trigonométricas importantes relacionadas a seno e cosseno da soma de dois ângulos. Vamos precisar conhecer um pouco sobre a fórmula de Euler, que conecta números complexos com funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da fórmula de Euler, que diz que para qualquer ângulo
, temos:
Essa fórmula é super útil porque relaciona a exponencial complexa com seno e cosseno.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa fórmula para o ângulo
. Ou seja:
Passo 4
Por outro lado, podemos separar a exponencial do ângulo composto em um produto das exponenciais dos ângulos individuais:
Passo 5
Agora, aplicando a fórmula de Euler para cada exponencial separadamente:
Passo 6
Multiplicando essas duas expressões:
Vamos distribuir os termos:
Passo 7
Lembrando que
, a expressão fica:
Passo 8
Então, temos duas partes nessa expressão: a parte real e a parte imaginária. Comparando com a expressão da Passo 3:
Passo 9
Igualando as partes reais e imaginárias, obtemos:
e
Resposta
Demonstramos, usando
e a fórmula de Euler, que:
e