Usar e^i(theta1+theta2) para demonstrar as relações trigonométricas:
& cos (theta1+theta2)=cos (theta1) cos (theta2)-sen(theta1) sen(theta2) & sen(theta1+theta2)=sen(theta1) cos (theta2)+cos (theta1) sen(theta2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente usar a expressão e^i(theta1+theta2) para demonstrar duas identidades trigonométricas importantes relacionadas a seno e cosseno da soma de dois ângulos. Vamos precisar conhecer um pouco sobre a fórmula de Euler, que conecta números complexos com funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula de Euler, que diz que para qualquer ângulo theta, temos:
e^itheta = cos theta + i sin theta
Essa fórmula é super útil porque relaciona a exponencial complexa com seno e cosseno.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa fórmula para o ângulo theta1 + theta2. Ou seja:
e^i(theta1+theta2) = cos (theta1+theta2) + i sin (theta1+theta2)

Passo 4

Por outro lado, podemos separar a exponencial do ângulo composto em um produto das exponenciais dos ângulos individuais:
e^i(theta1+theta2) = e^itheta1 cdot e^itheta2

Passo 5

Agora, aplicando a fórmula de Euler para cada exponencial separadamente:
e^itheta1 = cos theta1 + i sin theta1
e^itheta2 = cos theta2 + i sin theta2

Passo 6

Multiplicando essas duas expressões:
(cos theta1 + i sin theta1)(cos theta2 + i sin theta2)
Vamos distribuir os termos:
cos theta1cos theta2 + i cos theta1 sin theta2 + i sin theta1 cos theta2 + i^2 sin theta1 sin theta2

Passo 7

Lembrando que i^2 = -1, a expressão fica:
cos theta1cos theta2 + i (cos theta1 sin theta2 + sin theta1 cos theta2) - sin theta1 sin theta2

Passo 8

Então, temos duas partes nessa expressão: a parte real e a parte imaginária. Comparando com a expressão da Passo 3:
cos (theta1+theta2) + i sin (theta1+theta2) = cos theta1cos theta2 - sin theta1 sin theta2 + i (sin theta1 cos theta2 + cos theta1 sin theta2)

Passo 9

Igualando as partes reais e imaginárias, obtemos:
cos (theta1+theta2) = cos theta1cos theta2 - sin theta1 sin theta2
e
sin (theta1+theta2) = sin theta1 cos theta2 + cos theta1 sin theta2

Resposta

Demonstramos, usando e^i(theta1+theta2) e a fórmula de Euler, que:
cos (theta1+theta2) = cos theta1cos theta2 - sin theta1 sin theta2
e
sin (theta1+theta2) = sin theta1 cos theta2 + cos theta1 sin theta2

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