Utilizando a regra da cadeia, mostre que as equações de Cauchy-Riemann em coordenadas polares são
partial upartial r=1r partial vpartial theta e 1r partial upartial theta=-partial vpartial r

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente usar a regra da cadeia pra mostrar que as equações de Cauchy-Riemann, que a gente geralmente conhece em coordenadas cartesianas, também valem em coordenadas polares. Ou seja, transformar essas equações para a forma polar:
partial upartial r = 1r partial vpartial theta e 1r partial upartial theta = -partial vpartial r
Pra isso, vamos precisar saber como converter derivadas de coordenadas cartesianas (x, y) pra polares (r, theta) usando a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como as coordenadas cartesianas (x, y) se relacionam com as polares (r, theta):
x = r cos theta y = r sin theta
Agora, queremos expressar as derivadas parciais de u e v em termos de r e theta. Para isso, usamos a regra da cadeia, que nos ajuda a relacionar as derivadas nas duas coordenadas.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de u e v em relação a r e theta usando a regra da cadeia. Por exemplo, a derivada de u em relação a r é:
partial upartial r = partial upartial x partial xpartial r + partial upartial y partial ypartial r
E a derivada de u em relação a theta é:
partial upartial theta = partial upartial x partial xpartial theta + partial upartial y partial ypartial theta
Vamos calcular essas derivadas parciais das coordenadas:
partial xpartial r = cos theta, partial ypartial r = sin theta partial xpartial theta = -r sin theta, partial ypartial theta = r cos theta

Passo 4

Substituindo essas derivadas nas expressões anteriores:
partial upartial r = partial upartial x cos theta + partial upartial y sin theta partial upartial theta = partial upartial x (-r sin theta) + partial upartial y (r cos theta)
Fazendo o mesmo para v:
partial vpartial r = partial vpartial x cos theta + partial vpartial y sin theta partial vpartial theta = partial vpartial x (-r sin theta) + partial vpartial y (r cos theta)

Passo 5

Agora, vamos lembrar das equações de Cauchy-Riemann em coordenadas cartesianas:
partial upartial x = partial vpartial y e partial upartial y = -partial vpartial x
Substituindo essas relações nas expressões que obtivemos:
Para partial upartial r:
partial upartial r = partial vpartial y cos theta - partial vpartial x sin theta
Para partial upartial theta:
partial upartial theta = -r partial vpartial y sin theta - r partial vpartial x cos theta

Passo 6

Agora, vamos reescrever essas expressões em termos de partial vpartial r e partial vpartial theta.
Observamos que:
partial vpartial r = partial vpartial x cos theta + partial vpartial y sin theta partial vpartial theta = -r partial vpartial x sin theta + r partial vpartial y cos theta
Comparando com as expressões de partial upartial r e partial upartial theta, percebemos que:
partial upartial r = 1r partial vpartial theta 1r partial upartial theta = -partial vpartial r

Resposta

Assim, utilizando a regra da cadeia, mostramos que as equações de Cauchy-Riemann em coordenadas polares são:
partial upartial r = 1r partial vpartial theta e 1r partial upartial theta = -partial vpartial r

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