Utilizando a regra da cadeia, mostre que as equações de Cauchy-Riemann em coordenadas polares são
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente usar a regra da cadeia pra mostrar que as equações de Cauchy-Riemann, que a gente geralmente conhece em coordenadas cartesianas, também valem em coordenadas polares. Ou seja, transformar essas equações para a forma polar:
Pra isso, vamos precisar saber como converter derivadas de coordenadas cartesianas
pra polares
usando a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como as coordenadas cartesianas
se relacionam com as polares
:
Agora, queremos expressar as derivadas parciais de
e
em termos de
e
. Para isso, usamos a regra da cadeia, que nos ajuda a relacionar as derivadas nas duas coordenadas.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
e
em relação a
e
usando a regra da cadeia. Por exemplo, a derivada de
em relação a
é:
E a derivada de
em relação a
é:
Vamos calcular essas derivadas parciais das coordenadas:
Passo 4
Substituindo essas derivadas nas expressões anteriores:
Fazendo o mesmo para
:
Passo 5
Agora, vamos lembrar das equações de Cauchy-Riemann em coordenadas cartesianas:
Substituindo essas relações nas expressões que obtivemos:
Para
:
Para
:
Passo 6
Agora, vamos reescrever essas expressões em termos de
e
.
Observamos que:
Comparando com as expressões de
e
, percebemos que:
Resposta
Assim, utilizando a regra da cadeia, mostramos que as equações de Cauchy-Riemann em coordenadas polares são: