Mostre que a probabilidade de dois bósons ocuparem o mesmo estado quântico é o dobro da probabilidade de duas partículas clássicas ocuparem o mesmo estado quântico.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a probabilidade de dois bósons ocuparem o mesmo estado quântico é o dobro da probabilidade de duas partículas clássicas ocuparem o mesmo estado quântico.
Matéria envolvida: Vamos trabalhar com conceitos de estatística quântica, especificamente sobre bósons e partículas clássicas.
O que vamos precisar:
  • Entender a diferença entre partículas clássicas e bósons.
  • Conhecer como calcular probabilidades de ocupação de estados quânticos para cada tipo de partícula.
  • Usar conceitos de contagem de estados possíveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a diferença entre partículas clássicas e bósons.
Partículas Clássicas:
São distinguíveis umas das outras. Imagine que temos duas partículas diferentes, digamos, uma bola vermelha e uma azul. Cada uma pode ocupar um estado quântico independentemente da outra.
Bósons:
São partículas indistinguíveis e obedecem à estatística de Bose-Einstein. Isso significa que múltiplos bósons podem ocupar o mesmo estado quântico simultaneamente, e a ocupação de estados é simétrica.

Passo 3

Vamos considerar que temos dois estados quânticos possíveis, digamos, Estado A e Estado B.
Para Partículas Clássicas:
Como as partículas são distinguíveis, cada uma pode escolher qualquer um dos estados sem restrições. Então, as combinações possíveis são:
  1. Partícula 1 no Estado A e Partícula 2 no Estado A.
  2. Partícula 1 no Estado A e Partícula 2 no Estado B.
  3. Partícula 1 no Estado B e Partícula 2 no Estado A.
  4. Partícula 1 no Estado B e Partícula 2 no Estado B.
Total de combinações: 4
Eventos onde ambas ocupam o mesmo estado:
  1. Ambas no Estado A.
  2. Ambas no Estado B.
Número de eventos favoráveis: 2
Então, a probabilidade de ambas ocuparem o mesmo estado é:
Pclássicas = 24 = 12 á

Passo 4

Para Bósons:
Como os bósons são indistinguíveis, algumas combinações são consideradas iguais. As combinações distintas são:
  1. Ambas no Estado A.
  2. Uma no Estado A e outra no Estado B.
Total de combinações distintas: 2
Eventos onde ambas ocupam o mesmo estado:
  1. Ambas no Estado A.
  2. Ambas no Estado B.
Número de eventos favoráveis: 2
Então, a probabilidade de ambas ocuparem o mesmo estado é:
Pbósons = 22 = 1 ó

Passo 5

Agora, vamos comparar as duas probabilidades:
Pbósons = 1 ó
Pclássicas = 12 á
Para encontrar o fator de proporcionalidade:
PbósonsPclássicas = 112 = 2 óá

Resposta

A probabilidade de dois bósons ocuparem o mesmo estado quântico é o dobro da probabilidade de duas partículas clássicas ocuparem o mesmo estado quântico.

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