Mostre que a probabilidade de dois bósons ocuparem o mesmo estado quântico é o dobro da probabilidade de duas partículas clássicas ocuparem o mesmo estado quântico.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a probabilidade de dois bósons ocuparem o mesmo estado quântico é o dobro da probabilidade de duas partículas clássicas ocuparem o mesmo estado quântico.
Matéria envolvida: Vamos trabalhar com conceitos de estatística quântica, especificamente sobre bósons e partículas clássicas.
O que vamos precisar:
- Entender a diferença entre partículas clássicas e bósons.
- Conhecer como calcular probabilidades de ocupação de estados quânticos para cada tipo de partícula.
- Usar conceitos de contagem de estados possíveis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a diferença entre partículas clássicas e bósons.
Partículas Clássicas:
São distinguíveis umas das outras. Imagine que temos duas partículas diferentes, digamos, uma bola vermelha e uma azul. Cada uma pode ocupar um estado quântico independentemente da outra.
São distinguíveis umas das outras. Imagine que temos duas partículas diferentes, digamos, uma bola vermelha e uma azul. Cada uma pode ocupar um estado quântico independentemente da outra.
Bósons:
São partículas indistinguíveis e obedecem à estatística de Bose-Einstein. Isso significa que múltiplos bósons podem ocupar o mesmo estado quântico simultaneamente, e a ocupação de estados é simétrica.
São partículas indistinguíveis e obedecem à estatística de Bose-Einstein. Isso significa que múltiplos bósons podem ocupar o mesmo estado quântico simultaneamente, e a ocupação de estados é simétrica.
Passo 3
Vamos considerar que temos dois estados quânticos possíveis, digamos, Estado A e Estado B.
Para Partículas Clássicas:
Como as partículas são distinguíveis, cada uma pode escolher qualquer um dos estados sem restrições. Então, as combinações possíveis são:
Como as partículas são distinguíveis, cada uma pode escolher qualquer um dos estados sem restrições. Então, as combinações possíveis são:
- Partícula 1 no Estado A e Partícula 2 no Estado A.
- Partícula 1 no Estado A e Partícula 2 no Estado B.
- Partícula 1 no Estado B e Partícula 2 no Estado A.
- Partícula 1 no Estado B e Partícula 2 no Estado B.
Total de combinações: 4
Eventos onde ambas ocupam o mesmo estado:
- Ambas no Estado A.
- Ambas no Estado B.
Número de eventos favoráveis: 2
Então, a probabilidade de ambas ocuparem o mesmo estado é:
Passo 4
Para Bósons:
Como os bósons são indistinguíveis, algumas combinações são consideradas iguais. As combinações distintas são:
Como os bósons são indistinguíveis, algumas combinações são consideradas iguais. As combinações distintas são:
- Ambas no Estado A.
- Uma no Estado A e outra no Estado B.
Total de combinações distintas: 2
Eventos onde ambas ocupam o mesmo estado:
- Ambas no Estado A.
- Ambas no Estado B.
Número de eventos favoráveis: 2
Então, a probabilidade de ambas ocuparem o mesmo estado é:
Passo 5
Agora, vamos comparar as duas probabilidades:
Para encontrar o fator de proporcionalidade:
Resposta
A probabilidade de dois bósons ocuparem o mesmo estado quântico é o dobro da probabilidade de duas partículas clássicas ocuparem o mesmo estado quântico.