Seja a porta de Hadamard definida como:
H=1raiz2(cc 1 & 1 1 & -1 )
Sabemos que:
H|0rang<==1raiz2(|0rang<=+|1rang<=) equiv|+rang<=, H|1rang<==1raiz2(|0rang<=-|1rang<=) equiv|-rang<=
Mostre que:
(a) H|-rang<==|1rang<=.
(b) H|-irang<==e^-i pi / 4|irang<= equiv|irang<=, onde |-irang<==1raiz2(|0rang<=-i|1rang<=) e |irang<==1raiz2(|0rang<=+i|1rang<=).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que envolve a porta de Hadamard (representada por $ H $) e alguns estados quânticos como $ |-\rangle $ e $ |i\rangle $. A matéria aqui é de Computação Quântica, e para resolver essa questão, vamos precisar entender como a porta de Hadamard transforma esses estados. Vamos dar uma olhada no que precisamos fazer em cada parte do exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é definido o estado $ |-\rangle $. Pelo enunciado, temos:
|-rang<=
Queremos calcular $ H|-\rangle $ e mostrar que isso resulta em $ |1\rangle $.

Passo 3

Vamos aplicar a porta de Hadamard $ H $ no estado $ |-\rangle $. Sabemos que:
H
E aplicando $ H $ em $ |-\rangle $:
|-rang<=

Passo 4

Sabemos também que:
H|0rang<= = 1raiz2(|0rang<= + |1rang<=) = |+rang<=
H|1rang<= = 1raiz2(|0rang<= - |1rang<=) = |-rang<=
Substituindo na expressão anterior:
H|-rang<= = 1raiz2 ( |+rang<= - |-rang<= )

Passo 5

Vamos agora substituir $ |+\rangle $ e $ |-\rangle $ pelas suas expressões em termos de $ |0\rangle $ e $ |1\rangle $:
|+rang<=
|-rang<=
Então:
|0rang<=

Passo 6

Simplificando a expressão:
H|-rang<= = 1raiz2 cdot 1raiz2 ( |0rang<= + |1rang<= - |0rang<= + |1rang<= )
= 12 ( 2|1rang<= )
= |1rang<=

Resposta

Portanto, mostramos que $ H|-\rangle = |1\rangle $.

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