Mostre que psi(x, t)=f(x pm v t) é solução da equação diferencial de onda unidimensional.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para mostrar que a função é uma solução da equação diferencial da onda unidimensional. Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais e ondas, e precisaremos usar cálculo diferencial para verificar se a função proposta satisfaz a equação da onda.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a equação diferencial da onda unidimensional. Ela é dada por:
partial^2 psipartial t^2 = v^2 partial^2 psipartial x^2
Isso significa que a segunda derivada de em relação ao tempo deve ser igual a vezes a segunda derivada de em relação ao espaço .

Passo 3

Agora, vamos calcular a primeira derivada de partial psipartial t = ddt f(x pm vt) = f'(x pm vt) cdot (pm v) em relação a :
Aqui, usamos a regra da cadeia para derivar a função composta.

Passo 4

Em seguida, calculamos a segunda derivada de partial^2 psipartial t^2 = ddt ( f'(x pm vt) cdot (pm v) ) = f''(x pm vt) cdot (pm v)^2 = v^2 f''(x pm vt) em relação a :

Passo 5

Agora, vamos calcular a segunda derivada de partial psipartial x = ddx f(x pm vt) = f'(x pm vt) em relação a partial^2 psipartial x^2 = ddx f'(x pm vt) = f''(x pm vt) :

Passo 6

Comparando as duas segundas derivadas que calculamos:
partial^2 psipartial t^2 = v^2 f''(x pm vt)
v^2 partial^2 psipartial x^2 = v^2 f''(x pm vt)

Resposta

Como , concluímos que é realmente uma solução da equação diferencial da onda unidimensional.

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Prove que uma onda harmônica progressiva pode ser descrita alternativamente por:
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Seja a onda luminosa dada pela função de onda (em unidades do SI):
psi(x, t)=10^3 sen[pi(3 times 10^6 x-9 times 10^14 t)]. Determine:
(a) a velocidade da onda,
Quantas malhas e quantos nós tem o circuito?