Mostre que
é solução da equação diferencial de onda unidimensional.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para mostrar que a função
é uma solução da equação diferencial da onda unidimensional. Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais e ondas, e precisaremos usar cálculo diferencial para verificar se a função proposta satisfaz a equação da onda.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a equação diferencial da onda unidimensional. Ela é dada por:
Isso significa que a segunda derivada de
em relação ao tempo
deve ser igual a
vezes a segunda derivada de
em relação ao espaço
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a primeira derivada de
em relação a
:
Aqui, usamos a regra da cadeia para derivar a função composta.
Passo 4
Em seguida, calculamos a segunda derivada de
em relação a
:
Passo 5
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
em relação a
:
Passo 6
Comparando as duas segundas derivadas que calculamos:
Resposta
Como
, concluímos que
é realmente uma solução da equação diferencial da onda unidimensional.
Exercícios relacionados
Prove que uma onda harmônica progressiva pode ser descrita alternativamente por:
a)
a)
(a) Mostre que a expressão
é uma onda progressiva
Seja a onda luminosa dada pela função de onda (em unidades do SI):
. Determine:
(a) a velocidade da onda,
(a) a velocidade da onda,
Quantas malhas e quantos nós tem o circuito?