Prove que uma onda harmônica progressiva pode ser descrita alternativamente por:
a)
a)
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para provar que uma onda harmônica progressiva pode ser descrita pela equação:
Esse problema está dentro do estudo de ondas harmônicas e precisamos entender como as diferentes formas de representar uma onda estão relacionadas. Vamos precisar usar conceitos de comprimento de onda (
) e período (
) para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a forma geral de uma onda harmônica progressiva. A equação padrão é:
Aqui,
é a amplitude da onda,
é o número de onda e
é a frequência angular.
Passo 3
Agora, vamos relacionar o número de onda
e a frequência angular
com o comprimento de onda
e o período
.
Sabemos que:
Essas relações conectam as propriedades espaciais e temporais da onda.
Passo 4
Vamos substituir
e
na equação geral da onda harmônica progressiva:
Passo 5
Agora, podemos fatorar o
que está dentro do seno:
Passo 6
A equação que obtivemos é uma das formas alternativas para descrever a onda harmônica progressiva. Além disso, se considerarmos a onda se movendo na direção oposta, o sinal dentro do seno muda. Assim, a outra forma é:
Resposta
Portanto, provamos que uma onda harmônica progressiva pode ser descrita por: