Mostre que qualquer função da forma
ou
satisfaz a equação de onda.
Passo 1
Então, a gente tem uma função do tipo
ou
, e a gente precisa mostrar que essas funções satisfazem a equação de onda. A matéria aqui envolve derivadas parciais e a própria equação de onda. Vamos precisar calcular as derivadas segundas da função em relação ao tempo
e ao espaço
e ver se elas se ajustam à equação de onda.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a equação de onda. Ela é dada por:
Isso significa que a segunda derivada de
em relação ao tempo deve ser igual a
vezes a segunda derivada de
em relação ao espaço.
Passo 3
Vamos começar com a função
. Para verificar se ela satisfaz a equação de onda, precisamos calcular as derivadas parciais.
Primeira derivada em relação a
:
Segunda derivada em relação a
:
Agora, a primeira derivada em relação a
:
Segunda derivada em relação a
:
Passo 4
Vamos agora substituir essas derivadas na equação de onda:
Vemos que:
Portanto, a função
satisfaz a equação de onda.
Passo 5
Fazendo um raciocínio similar para a função
, calculamos as derivadas:
Segunda derivada em relação a
:
Segunda derivada em relação a
:
Substituindo na equação de onda:
Novamente, a igualdade se mantém, mostrando que
também satisfaz a equação de onda.
Resposta
Qualquer função da forma
ou
satisfaz a equação de onda.