Mostre que qualquer função da forma ou satisfaz a equação de onda.

Passo 1

Então, a gente tem uma função do tipo ou , e a gente precisa mostrar que essas funções satisfazem a equação de onda. A matéria aqui envolve derivadas parciais e a própria equação de onda. Vamos precisar calcular as derivadas segundas da função em relação ao tempo e ao espaço e ver se elas se ajustam à equação de onda.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a equação de onda. Ela é dada por:
Isso significa que a segunda derivada de em relação ao tempo deve ser igual a vezes a segunda derivada de em relação ao espaço.

Passo 3

Vamos começar com a função . Para verificar se ela satisfaz a equação de onda, precisamos calcular as derivadas parciais.
Primeira derivada em relação a :
Segunda derivada em relação a :
Agora, a primeira derivada em relação a :
Segunda derivada em relação a :

Passo 4

Vamos agora substituir essas derivadas na equação de onda:
Vemos que:
Portanto, a função satisfaz a equação de onda.

Passo 5

Fazendo um raciocínio similar para a função , calculamos as derivadas:
Segunda derivada em relação a :
Segunda derivada em relação a :
Substituindo na equação de onda:
Novamente, a igualdade se mantém, mostrando que também satisfaz a equação de onda.

Resposta

Qualquer função da forma ou satisfaz a equação de onda.

Exercícios relacionados

a) Calcule o comprimento de onda.
b) Nesta condições qual é o resultado da interferência no ponto? Calcule e explique.
c) Qual é o resultado da interferência no ponto se a fonte que se encontra à for deslocada para trás por 1.2 m? Calcule e explique.
d) E se o deslocamento for de 1,6 m para trás? Calcule e explique.
a) Mostre que a resultante de duas ondas cujas equações são:


Pode ser escrita como:
b) O que representa ?
c) Como pode ser descrito qualitativamente o movimento dessa onda?
e) O que acontece quando for próximo de ?
a) Determine a velocidade da onda nesta corda.
b) Calcule o valor da mais baixa frequência (fundamental) que pode se estabelecer nesta corda. Resp: a) ; b) 105 Hz.
a) Determine a constante de fase dessa onda.
b) Determine o valor da velocidade inicial do ponto da mola.
c) Determine o valor da aceleração máxima que este ponto estará sujeito.