Mostre que qualquer função da forma y(x, t)=f(x-v t) ou y(x, t)=g(x+v t) satisfaz a equação de onda.

Passo 1

Então, a gente tem uma função do tipo ou , e a gente precisa mostrar que essas funções satisfazem a equação de onda. A matéria aqui envolve derivadas parciais e a própria equação de onda. Vamos precisar calcular as derivadas segundas da função em relação ao tempo e ao espaço e ver se elas se ajustam à equação de onda.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a equação de onda. Ela é dada por:
partial^2 ypartial t^2 = v^2 partial^2 ypartial x^2
Isso significa que a segunda derivada de em relação ao tempo deve ser igual a vezes a segunda derivada de em relação ao espaço.

Passo 3

Vamos começar com a função partial ypartial t = f'(x - v t) cdot (-v) . Para verificar se ela satisfaz a equação de onda, precisamos calcular as derivadas parciais.
Primeira derivada em relação a partial^2 ypartial t^2 = f''(x - v t) cdot (-v)^2 = v^2 f''(x - v t) :
partial ypartial x = f'(x - v t)
Segunda derivada em relação a partial^2 ypartial x^2 = f''(x - v t) :
Agora, a primeira derivada em relação a :
Segunda derivada em relação a :

Passo 4

Vamos agora substituir essas derivadas na equação de onda:
partial^2 ypartial t^2 = v^2 f''(x - v t)
v^2 partial^2 ypartial x^2 = v^2 f''(x - v t)
Vemos que:
partial^2 ypartial t^2 = v^2 partial^2 ypartial x^2
Portanto, a função satisfaz a equação de onda.

Passo 5

Fazendo um raciocínio similar para a função partial^2 ypartial t^2 = v^2 g''(x + v t) , calculamos as derivadas:
Segunda derivada em relação a partial^2 ypartial x^2 = g''(x + v t) :
partial^2 ypartial t^2 = v^2 partial^2 ypartial x^2
Segunda derivada em relação a :
Substituindo na equação de onda:
Novamente, a igualdade se mantém, mostrando que também satisfaz a equação de onda.

Resposta

Qualquer função da forma ou satisfaz a equação de onda.

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