a) Mostre que a resultante de duas ondas cujas equações são:
y1(x, t)=ym sen(k1 x-omega1 t)
y2(x, t)=ym sen(k2 x-omega2 t)
Pode ser escrita como: y(x, t)=2 ym cos [12(De
b) O que representa omega^prime / k^prime?
c) Como pode ser descrito qualitativamente o movimento dessa onda?
e) O que acontece quando omega1 for próximo de omega2?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a superposição de duas ondas com equações diferentes. A matéria que vamos estudar aqui é a interferência de ondas, que é quando duas ou mais ondas se encontram e combinam seus efeitos. Para resolver isso, vamos precisar usar identidades trigonométricas para somar as funções senoidais das ondas.

Passo 2

Vamos começar com a parte a). Queremos mostrar que a resultante das duas ondas dadas pode ser escrita de uma forma combinada. As equações das ondas são:
y1(x, t) = ym sin(k1 x - omega1 t)
y2(x, t) = ym sin(k2 x - omega2 t)
Para somar essas duas ondas, vamos usar a identidade trigonométrica:
sin A + sin B = 2 sin(A + B2) cos(A - B2)

Passo 3

Aplicando essa identidade às equações das ondas, temos:
A = k1 x - omega1 t
B = k2 x - omega2 t
Então,
sin A + sin B = 2 sin((k1 x - omega1 t) + (k2 x - omega2 t)2) cos((k1 x - omega1 t) - (k2 x - omega2 t)2)

Passo 4

Vamos simplificar as expressões dentro dos senos e cossenos:
A + B2 = (k1 + k2)x - (omega1 + omega2)t2 = k' x - omega' t
A - B2 = (k1 - k2)x - (omega1 - omega2)t2 = De
Onde definimos:
k' = k1 + k22, omega' = omega1 + omega22, De

Passo 5

Substituindo de volta na expressão da soma das ondas:
y(x, t) = y1(x, t) + y2(x, t) = 2 ym cos(De
Isso mostra que a resultante das duas ondas é uma onda senoidal modulada por uma função cosseno, que representa a interferência das ondas.

Passo 6

Agora, para a parte b), queremos saber o que representa omega'k' = omega1 + omega22k1 + k22 = omega1 + omega2k1 + k2 . Vamos olhar para isso:
v = omegak
Essa razão representa a velocidade de propagação da onda resultante. Em ondas, a velocidade é dada por:
Então, nos dá a velocidade com que a onda resultante se move no meio.

Passo 7

Para a parte c), vamos descrever qualitativamente o movimento dessa onda resultante. A expressão que obtivemos é:
y(x, t) = 2 ym cos(De
Aqui, o termo representa uma onda senoidal que se propaga com a velocidade . O termo atua como uma amplitude moduladora, ou seja, ele faz com que a amplitude da onda senoidal principal varie no espaço e no tempo. Isso cria um padrão de batimento ou interferência onde há regiões de maior e menor amplitude.

Passo 8

Por fim, na parte e), queremos saber o que acontece quando está próximo de . Se , então é pequeno. Isso significa que a frequência da amplitude moduladora também será baixa.
Consequentemente, a onda resultante exibirá um batimento lento, onde a amplitude varia suavemente ao longo do tempo e do espaço. Esse fenômeno é conhecido como interferência construtiva e destrutiva periódica, criando zonas onde as ondas se reforçam ou se cancelam mutuamente de forma gradual.

Resposta

A resultante das duas ondas é dada por:
y(x, t) = 2 ym cos[12(De
onde , , e . Além disso, representa a velocidade de propagação da onda resultante, que exibe um movimento de batimento quando está próximo de .

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