Mostre que a rapidez phi=tanh ^-1(v / c) é uma quantidade aditiva, i.e., se v3 é a velocidade obtida pela soma relativística das velocidades v1 e v2, então phi3=phi1+phi2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a rapidez phi = tanh^-1(v / c) é uma quantidade aditiva. Isso significa que, se a gente tem duas velocidades v1 e v2, e soma elas relativisticamente para obter v3, então a rapidez correspondente a v3 é a soma das rapididades de v1 e v2. Para resolver isso, vamos precisar entender como a rapidez funciona na teoria da relatividade e como somar velocidades de forma relativística.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a rapidez na relatividade. A rapidez phi é definida como:
phi = tanh^-1(vc)
Aqui, v é a velocidade do objeto e c é a velocidade da luz. A função tanh^-1 é a função arco-tangente hiperbólica, que nos ajuda a trabalhar com a adição de velocidades de maneira mais simples.

Passo 3

Agora, vamos lembrar como somamos duas velocidades na relatividade especial. A soma relativística de duas velocidades v1 e v2 na mesma direção é dada por:
v3 = v1 + v21 + v1 v2c^2
Essa fórmula garante que a velocidade resultante v3 nunca ultrapasse a velocidade da luz c.

Passo 4

Vamos expressar a rapidez correspondente a cada velocidade. Para v1, v2 e v3, temos:
phi1 = tanh^-1(v1c) phi2 = tanh^-1(v2c) phi3 = tanh^-1(v3c)
Nosso objetivo é mostrar que phi3 = phi1 + phi2.

Passo 5

Vamos substituir v3 na expressão da rapidez phi3 usando a fórmula da soma relativística:
phi3 = tanh^-1(v3c) = tanh^-1(v1 + v21 + v1 v2c^2c) = tanh^-1(v1 + v2c + v1 v2c)
Simplificando o denominador:
c + v1 v2c = c^2 + v1 v2c
Portanto:
phi3 = tanh^-1(v1 + v2c^2 + v1 v2c) = tanh^-1(c(v1 + v2)c^2 + v1 v2) = tanh^-1(v1 + v2c + v1 v2c)

Passo 6

Sabemos que a função tanh^-1 tem a propriedade de que tanh^-1(x) + tanh^-1(y) = tanh^-1(x + y1 + xy), quando xy < 1. Aplicando isso às nossas rapididades:
phi1 + phi2 = tanh^-1(v1c) + tanh^-1(v2c) = tanh^-1(v1c + v2c1 + v1c cdot v2c) = tanh^-1(v1 + v2c + v1 v2c)
Comparando com a expressão que encontramos para phi3, vemos que:
phi3 = phi1 + phi2

Resposta

Então, mostramos que phi3 = phi1 + phi2, ou seja, a rapidez é uma quantidade aditiva na soma relativística de velocidades.

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