Mostre que a rapidez é uma quantidade aditiva, i.e., se é a velocidade obtida pela soma relativística das velocidades e , então .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a rapidez é uma quantidade aditiva. Isso significa que, se a gente tem duas velocidades e , e soma elas relativisticamente para obter , então a rapidez correspondente a é a soma das rapididades de e . Para resolver isso, vamos precisar entender como a rapidez funciona na teoria da relatividade e como somar velocidades de forma relativística.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a rapidez na relatividade. A rapidez é definida como:
Aqui, é a velocidade do objeto e é a velocidade da luz. A função é a função arco-tangente hiperbólica, que nos ajuda a trabalhar com a adição de velocidades de maneira mais simples.
Passo 3
Agora, vamos lembrar como somamos duas velocidades na relatividade especial. A soma relativística de duas velocidades e na mesma direção é dada por:
Essa fórmula garante que a velocidade resultante nunca ultrapasse a velocidade da luz .
Passo 4
Vamos expressar a rapidez correspondente a cada velocidade. Para , e , temos:
Nosso objetivo é mostrar que .
Passo 5
Vamos substituir na expressão da rapidez usando a fórmula da soma relativística:
Simplificando o denominador:
Portanto:
Passo 6
Sabemos que a função tem a propriedade de que , quando . Aplicando isso às nossas rapididades:
Comparando com a expressão que encontramos para , vemos que:
Resposta
Então, mostramos que , ou seja, a rapidez é uma quantidade aditiva na soma relativística de velocidades.