Mostre que para qualquer vetor
, vale
laplaciano de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que, para qualquer vetor
, vale a igualdade
. Isso está dentro da matéria de Cálculo Vetorial, especificamente envolvendo operações como o rotacional (
), divergente (
) e o laplaciano (
). Vamos precisar usar as propriedades dessas operações e algumas identidades vetoriais para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa o rotacional de um vetor. O rotacional
mede a tendência de rotação de um campo vetorial
. Quando aplicamos o rotacional novamente, temos
, que é o rotacional do rotacional de
.
Passo 3
Sabemos que existe uma identidade vetorial que relaciona o rotacional do rotacional com o gradiente da divergente e o laplaciano. Essa identidade é justamente o que precisamos provar:
Vamos derivar essa identidade passo a passo.
Passo 4
Começamos expandindo o rotacional do rotacional usando a definição de rotacional em termos de derivadas parciais. Se
, então:
Passo 5
Agora, calculamos o rotacional desse resultado:
Isso envolve calcular novamente o rotacional, aplicando as derivadas parciais nas componentes resultantes.
Passo 6
Após realizar as derivadas cruzadas, várias das segundas derivadas de
vão se cancelar devido à igualdade das derivadas mistas (como
). O que sobra será:
Passo 7
Vamos entender cada termo dessa igualdade:
-
: É o gradiente da divergente de . A divergente mede a “fonte” ou “sumidouro” do campo em cada ponto, e o gradiente desse escalar aponta na direção de maior aumento da divergente. -
: É o laplaciano de , que aplica o operador laplaciano a cada componente de . O laplaciano mede a variação do campo ao redor de um ponto.
Passo 8
Portanto, ao calcular o rotacional do rotacional de
, obtemos uma combinação do gradiente da divergente e do laplaciano de
. Essa identidade é muito útil em diversas áreas da física e da engenharia, como na eletromagnetismo, onde simplifica as equações de Maxwell.
Resposta
Mostramos que
.
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