Mostre que para qualquer vetor F, vale nabla X(nabla X F)=nabla(nabla cdot F)-nabla^2 F
(rot(rot F)=grad(div F)- laplaciano de F).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que, para qualquer vetor F, vale a igualdade nabla times (nabla times F) = nabla(nabla cdot F) - nabla^2 F. Isso está dentro da matéria de Cálculo Vetorial, especificamente envolvendo operações como o rotacional ( nabla times), divergente ( nabla cdot) e o laplaciano ( nabla^2). Vamos precisar usar as propriedades dessas operações e algumas identidades vetoriais para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa o rotacional de um vetor. O rotacional nabla times F mede a tendência de rotação de um campo vetorial F. Quando aplicamos o rotacional novamente, temos nabla times (nabla times F), que é o rotacional do rotacional de F.

Passo 3

Sabemos que existe uma identidade vetorial que relaciona o rotacional do rotacional com o gradiente da divergente e o laplaciano. Essa identidade é justamente o que precisamos provar:
nabla times (nabla times F) = nabla(nabla cdot F) - nabla^2 F
Vamos derivar essa identidade passo a passo.

Passo 4

Começamos expandindo o rotacional do rotacional usando a definição de rotacional em termos de derivadas parciais. Se F = (Fx, Fy, Fz), então:
nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z, partial Fxpartial z - partial Fzpartial x, partial Fypartial x - partial Fxpartial y )

Passo 5

Agora, calculamos o rotacional desse resultado:
nabla times (nabla times F) = nabla times ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z, partial Fxpartial z - partial Fzpartial x, partial Fypartial x - partial Fxpartial y )
Isso envolve calcular novamente o rotacional, aplicando as derivadas parciais nas componentes resultantes.

Passo 6

Após realizar as derivadas cruzadas, várias das segundas derivadas de F vão se cancelar devido à igualdade das derivadas mistas (como partial^2 Fpartial x partial y = partial^2 Fpartial y partial x). O que sobra será:
nabla times (nabla times F) = nabla(nabla cdot F) - nabla^2 F

Passo 7

Vamos entender cada termo dessa igualdade:
  • nabla(nabla cdot F): É o gradiente da divergente de F. A divergente nabla cdot F mede a “fonte” ou “sumidouro” do campo F em cada ponto, e o gradiente desse escalar aponta na direção de maior aumento da divergente.
  • nabla^2 F: É o laplaciano de F, que aplica o operador laplaciano a cada componente de F. O laplaciano mede a variação do campo F ao redor de um ponto.

Passo 8

Portanto, ao calcular o rotacional do rotacional de F, obtemos uma combinação do gradiente da divergente e do laplaciano de F. Essa identidade é muito útil em diversas áreas da física e da engenharia, como na eletromagnetismo, onde simplifica as equações de Maxwell.

Resposta

Mostramos que nabla times (nabla times F) = nabla(nabla cdot F) - nabla^2 F.

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