Mostre que para qualquer vetor , vale
laplaciano de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que, para qualquer vetor , vale a igualdade . Isso está dentro da matéria de Cálculo Vetorial, especificamente envolvendo operações como o rotacional ( ), divergente ( ) e o laplaciano ( ). Vamos precisar usar as propriedades dessas operações e algumas identidades vetoriais para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa o rotacional de um vetor. O rotacional mede a tendência de rotação de um campo vetorial . Quando aplicamos o rotacional novamente, temos , que é o rotacional do rotacional de .

Passo 3

Sabemos que existe uma identidade vetorial que relaciona o rotacional do rotacional com o gradiente da divergente e o laplaciano. Essa identidade é justamente o que precisamos provar:
Vamos derivar essa identidade passo a passo.

Passo 4

Começamos expandindo o rotacional do rotacional usando a definição de rotacional em termos de derivadas parciais. Se , então:

Passo 5

Agora, calculamos o rotacional desse resultado:
Isso envolve calcular novamente o rotacional, aplicando as derivadas parciais nas componentes resultantes.

Passo 6

Após realizar as derivadas cruzadas, várias das segundas derivadas de vão se cancelar devido à igualdade das derivadas mistas (como ). O que sobra será:

Passo 7

Vamos entender cada termo dessa igualdade:
  • : É o gradiente da divergente de . A divergente mede a “fonte” ou “sumidouro” do campo em cada ponto, e o gradiente desse escalar aponta na direção de maior aumento da divergente.
  • : É o laplaciano de , que aplica o operador laplaciano a cada componente de . O laplaciano mede a variação do campo ao redor de um ponto.

Passo 8

Portanto, ao calcular o rotacional do rotacional de , obtemos uma combinação do gradiente da divergente e do laplaciano de . Essa identidade é muito útil em diversas áreas da física e da engenharia, como na eletromagnetismo, onde simplifica as equações de Maxwell.

Resposta

Mostramos que .

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.
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