Mostre que a razão entre a tensão T da corda e a densidade linear de massa rho possui dimensão de velocidade ao quadrado.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Estamos trabalhando com análise dimensional, que é uma forma de verificar as relações entre diferentes grandezas físicas usando suas dimensões (como massa, comprimento e tempo). Nesse caso, queremos mostrar que a razão entre a tensão da corda e a densidade linear de massa tem a dimensão de velocidade ao quadrado. Para isso, vamos precisar saber quais são as dimensões de e .

Passo 2

Vamos começar identificando as dimensões de cada grandeza envolvida:
  1. Tensão : A tensão é uma força aplicada na corda. A dimensão da força ( ) é dada por massa vezes aceleração. Então,
    Onde:
    • representa a massa,
    • representa o comprimento,
    • representa o tempo.
  2. Densidade linear de massa : Essa grandeza representa a massa por unidade de comprimento. Então,

Passo 3

Agora, vamos calcular a dimensão da razão . Para isso, dividimos as dimensões de pelas de :
Aqui, cancelamos a massa e subtraímos os expoentes de :
E o tempo fica com expoente .

Passo 4

Agora, vamos analisar a dimensão resultante . Sabemos que velocidade ( ) tem dimensão:
Então, a dimensão de velocidade ao quadrado é:

Resposta

Portanto, a razão possui dimensão de velocidade ao quadrado, ou seja, .

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