Com os resultados listados acima, estabeleça se as sequências a_n abaixo convergem ou divergem, dizendo qual critério usou. Quando for possivel calcule o limite da sequência. a_n = (e^n + e^{-n}) / (e^n - e^{-n})

Passo 1

Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos a sequência e precisamos determinar se ela converge (tem um limite) ou diverge. Se ela convergir, também queremos encontrar qual é esse limite. Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de sequências e propriedades das funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os termos e na expressão da sequência. Sabemos que, conforme aumenta, cresce muito rapidamente, tornando-se muito grande, enquanto se torna muito pequeno, aproximando-se de zero.

Passo 3

Com isso, na expressão , o termo domina tanto no numerador quanto no denominador. Para simplificar a análise, vamos dividir tanto o numerador quanto o denominador por :

Passo 4

Agora, vamos observar o que acontece com quando tende ao infinito. Sabemos que , e como tende a zero quando cresce, então também tende a zero.

Passo 5

Substituindo esse comportamento na expressão simplificada da sequência, temos:

Resposta

A sequência converge e o seu limite é .

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