(a) Mostre que o rendimento do ciclo de Joule é dado por
(b) Calcule o rendimento para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que o rendimento do ciclo de Joule é dado por
e depois calcular esse rendimento para
. Estamos lidando com termodinâmica, especificamente com ciclos termodinâmicos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o ciclo de Joule, como calcular o rendimento de um ciclo e manipular algumas fórmulas matemáticas. Vamos destrinchar isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o ciclo de Joule. Na termodinâmica, um ciclo de Joule, também conhecido como ciclo de Brayton, é um ciclo termodinâmico que descreve o funcionamento de turbinas a gás e motores de aviação. Ele consiste em duas etapas isentrópicas (adiabáticas e reversíveis) e duas etapas de troca de calor a pressão constante.
Passo 3
O rendimento (
) de um ciclo termodinâmico é uma medida de quão eficiente ele é, ou seja, quanta parte da energia fornecida é convertida em trabalho útil. A fórmula geral para o rendimento de um ciclo de Brayton é:
onde $ \gamma $ é a razão de calores específicos (
).
Passo 4
No ciclo de Joule, a relação entre as pressões é dada por $ r = \frac{P_3}{P_2} $, onde $ r $ é a razão de compressão. Além disso, a relação entre as temperaturas $ T_1 $ e $ T_3 $ também está relacionada pela razão de compressão e pela razão de calores específicos.
Passo 5
Para simplificar, assumimos que $ \frac{T_1}{T_3} = \frac{1}{r^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}} $. Substituindo essa relação na fórmula do rendimento, temos:
Simplificando ainda mais, fica:
E assim, mostramos que o rendimento do ciclo de Joule é dado pela fórmula proposta.
Passo 6
Agora, vamos calcular o rendimento para $ r = 10 $. Vamos usar a fórmula que acabamos de derivar:
Assumindo que $ \gamma = 1.4 $ (um valor comum para ar seco), substituímos:
Calculando o expoente:
Então:
Convertendo para porcentagem:
Resposta
O rendimento do ciclo de Joule para $ r = 10 $ é aproximadamente
.