(a) Mostre que o rendimento do ciclo de Joule é dado por
eta=1-(1r)^gamma-1gamma
(b) Calcule o rendimento para r=10.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que o rendimento do ciclo de Joule é dado por eta=1-(1r)^gamma-1gamma e depois calcular esse rendimento para r=10. Estamos lidando com termodinâmica, especificamente com ciclos termodinâmicos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o ciclo de Joule, como calcular o rendimento de um ciclo e manipular algumas fórmulas matemáticas. Vamos destrinchar isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o ciclo de Joule. Na termodinâmica, um ciclo de Joule, também conhecido como ciclo de Brayton, é um ciclo termodinâmico que descreve o funcionamento de turbinas a gás e motores de aviação. Ele consiste em duas etapas isentrópicas (adiabáticas e reversíveis) e duas etapas de troca de calor a pressão constante.

Passo 3

O rendimento ( eta) de um ciclo termodinâmico é uma medida de quão eficiente ele é, ou seja, quanta parte da energia fornecida é convertida em trabalho útil. A fórmula geral para o rendimento de um ciclo de Brayton é:
eta = 1 - (T1T3) (P3P2)^gamma-1gamma
onde $ \gamma $ é a razão de calores específicos ( gamma ).

Passo 4

No ciclo de Joule, a relação entre as pressões é dada por $ r = \frac{P_3}{P_2} $, onde $ r $ é a razão de compressão. Além disso, a relação entre as temperaturas $ T_1 $ e $ T_3 $ também está relacionada pela razão de compressão e pela razão de calores específicos.

Passo 5

Para simplificar, assumimos que $ \frac{T_1}{T_3} = \frac{1}{r^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}} $. Substituindo essa relação na fórmula do rendimento, temos:
T1T3 = 1r^gamma-1gamma
Simplificando ainda mais, fica:
eta = 1 - (1r^gamma-1gamma)
E assim, mostramos que o rendimento do ciclo de Joule é dado pela fórmula proposta.

Passo 6

Agora, vamos calcular o rendimento para $ r = 10 $. Vamos usar a fórmula que acabamos de derivar:
r = 10
Assumindo que $ \gamma = 1.4 $ (um valor comum para ar seco), substituímos:
eta = 1 - (110)^gamma-1gamma
Calculando o expoente:
gamma = 1.4
Então:
eta = 1 - (110)^1.4-11.4 = 1 - (110)^0.41.4
Convertendo para porcentagem:
0.41.4 approx 0.2857

Resposta

O rendimento do ciclo de Joule para $ r = 10 $ é aproximadamente r = 10 .

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