Um mol de um gás ideal diatômico
descreve o ciclo ABCDA, onde
é medido em bar e
em
. Compare o resultado com a eficiência máxima ideal associada às temperaturas extremas do ciclo.
17. Um gás ideal com
sofre uma expansão isotérmica em que seu volume aumenta em
, seguida de uma contração isobárica até o volume inicial e de aquecimento, a volume constante, até a temperatura inicial (a) Calcule o rendimento desse ciclo. (b) Compare o resultado com o rendimento de um ciclo de Carnot que opera entre as mesmas temperaturas extremas. Use
.
17. Um gás ideal com
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos aqui um exercício de termodinâmica envolvendo um gás ideal. O gás tem uma relação de capacidades térmicas
, que indica que é um gás monoatômico. O ciclo que ele passa consiste em três etapas: expansão isotérmica (temperatura constante), contração isobárica (pressão constante) e aquecimento a volume constante. Precisamos calcular o rendimento desse ciclo e compará-lo com o rendimento de um ciclo de Carnot operando entre as mesmas temperaturas extremas. Para resolver isso, vamos usar as leis dos gases ideais e as definições de processos termodinâmicos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada processo faz:
-
Expansão Isotérmica: O gás se expande mantendo a temperatura constante. Isso significa que, de acordo com a lei dos gases ideais (
), se o volume aumenta, a pressão diminui para manter constante. -
Contração Isobárica: O volume do gás diminui enquanto a pressão permanece constante. Isso afetará a temperatura do gás.
-
Aquecimento a Volume Constante (Isochorico): O volume permanece constante, então qualquer aumento de temperatura se traduz em aumento de pressão.
Vamos assumir que começamos com um volume inicial
e uma pressão
. O volume após a expansão isotérmica aumenta em 50%, então
.
Passo 3
Etapa 1: Expansão Isotérmica
Neste processo,
(temperatura constante).
Usando a lei dos gases ideais:
Como
, substituímos:
Trabalho realizado na expansão isotérmica:
Para uma expansão isotérmica, o trabalho é dado por:
Como
, então:
Dado que
, temos:
Passo 4
Etapa 2: Contração Isobárica
Aqui, a pressão permanece constante (
) e o volume volta de
para
.
Usando a lei dos gases ideais para encontrar a temperatura
:
Como
e
, temos:
Calor transferido na contração isobárica:
O calor em um processo a pressão constante é:
Sabendo que para um gás monoatômico,
, e
:
Passo 5
Etapa 3: Aquecimento a Volume Constante (Isochorico)
Aqui, o volume permanece constante (
) e a temperatura volta a
.
Para calcular o calor nesse processo:
Sabendo que
(para gás monoatômico) e
:
Trabalho realizado na etapa 3:
Como o volume é constante,
.
Passo 6
Calculando o Trabalho Líquido e o Calor Total Recebido
O trabalho líquido feito pelo gás no ciclo é a soma dos trabalhos de cada etapa:
Como na etapa 3 não há trabalho:
Convertendo todos os termos para o mesmo denominador (37 e 6):
O sinal negativo indica que o trabalho é realizado sobre o gás.
Calor total recebido pelo gás:
O calor recebido ocorre nas etapas onde o gás absorve calor, que são a expansão isotérmica e o aquecimento a volume constante:
Na etapa 1-2 (isotérmica):
Na etapa 3-4:
Então:
Passo 7
Calculando o Rendimento do Ciclo
O rendimento (
) é dado pela relação entre o trabalho líquido e o calor total recebido:
Calculando os valores:
Como o rendimento não pode ser negativo (sinal negativo indica a direção do trabalho), consideramos o valor absoluto:
Passo 8
Comparando com o Ciclo de Carnot
O rendimento de um ciclo de Carnot é dado por:
Precisamos encontrar as temperaturas extremas do nosso ciclo.
Da etapa 1-2 (isotérmica), temos
.
Da etapa 2-3 (isobárica),
.
Da etapa 3-4 (isochorico),
.
Portanto, a temperatura máxima é
e a mínima é
.
Substituindo na fórmula do Carnot:
Resposta
(a) O rendimento do ciclo é aproximadamente 47,2%.
(b) Comparando com o ciclo de Carnot, que tem um rendimento de aproximadamente 33,3%, o ciclo proposto é mais eficiente.