Um mol de um gás ideal diatômico (gamma=7 / 5) descreve o ciclo ABCDA, onde P é medido em bar e V em L. Compare o resultado com a eficiência máxima ideal associada às temperaturas extremas do ciclo.
17. Um gás ideal com gamma=5 / 3 sofre uma expansão isotérmica em que seu volume aumenta em 50 %, seguida de uma contração isobárica até o volume inicial e de aquecimento, a volume constante, até a temperatura inicial (a) Calcule o rendimento desse ciclo. (b) Compare o resultado com o rendimento de um ciclo de Carnot que opera entre as mesmas temperaturas extremas. Use ln (32) approx 1537.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos aqui um exercício de termodinâmica envolvendo um gás ideal. O gás tem uma relação de capacidades térmicas gamma = 53, que indica que é um gás monoatômico. O ciclo que ele passa consiste em três etapas: expansão isotérmica (temperatura constante), contração isobárica (pressão constante) e aquecimento a volume constante. Precisamos calcular o rendimento desse ciclo e compará-lo com o rendimento de um ciclo de Carnot operando entre as mesmas temperaturas extremas. Para resolver isso, vamos usar as leis dos gases ideais e as definições de processos termodinâmicos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada processo faz:
  1. Expansão Isotérmica: O gás se expande mantendo a temperatura constante. Isso significa que, de acordo com a lei dos gases ideais ( PV = nRT), se o volume aumenta, a pressão diminui para manter T constante.
  2. Contração Isobárica: O volume do gás diminui enquanto a pressão permanece constante. Isso afetará a temperatura do gás.
  3. Aquecimento a Volume Constante (Isochorico): O volume permanece constante, então qualquer aumento de temperatura se traduz em aumento de pressão.
Vamos assumir que começamos com um volume inicial V1 e uma pressão P1. O volume após a expansão isotérmica aumenta em 50%, então V2 = 1,5 V1.

Passo 3

Etapa 1: Expansão Isotérmica
Neste processo, T1 = T2 (temperatura constante).
Usando a lei dos gases ideais:
P1 V1 = P2 V2
Como V2 = 1,5 V1, substituímos:
P2 = P1 V1V2 = P1 V11,5 V1 = P11,5 = 23 P1
Trabalho realizado na expansão isotérmica:
Para uma expansão isotérmica, o trabalho é dado por:
W1-2 = nRT ln(V2V1)
Como V2 = 1,5 V1, então:
W1-2 = nRT ln(32)
Dado que ln(32) approx 1537, temos:
W1-2 = nRT times 1537

Passo 4

Etapa 2: Contração Isobárica
Aqui, a pressão permanece constante ( P2 = P3 = 23 P1) e o volume volta de V2 = 1,5 V1 para V3 = V1.
Usando a lei dos gases ideais para encontrar a temperatura T3:
P2 V2 = nRT2 P3 V3 = nRT3
Como P2 = P3 e T2 = T1, temos:
23 P1 times V1 = nRT3 T3 = 23 T1
Calor transferido na contração isobárica:
O calor em um processo a pressão constante é:
Q2-3 = nCp De
Sabendo que para um gás monoatômico, Cp = 52 R, e De:
Q2-3 = n times 52 R times (-13 T1) = -56 nRT1

Passo 5

Etapa 3: Aquecimento a Volume Constante (Isochorico)
Aqui, o volume permanece constante ( V3 = V4 = V1) e a temperatura volta a T4 = T1.
Para calcular o calor nesse processo:
Q3-4 = nCv De
Sabendo que Cv = 32 R (para gás monoatômico) e De:
Q3-4 = n times 32 R times 13 T1 = 12 nRT1
Trabalho realizado na etapa 3:
Como o volume é constante, W3-4 = 0.

Passo 6

Calculando o Trabalho Líquido e o Calor Total Recebido
O trabalho líquido feito pelo gás no ciclo é a soma dos trabalhos de cada etapa:
Wtotal = W1-2 + W2-3 + W3-4 = W1-2 + W2-3
Como na etapa 3 não há trabalho:
Wtotal = nRT times 1537 - 56 nRT
Convertendo todos os termos para o mesmo denominador (37 e 6):
Wtotal = nRT (1537 - 56) = nRT (15 times 6 - 5 times 3737 times 6) = nRT (90 - 185222) = nRT (-95222)
O sinal negativo indica que o trabalho é realizado sobre o gás.
Calor total recebido pelo gás:
O calor recebido ocorre nas etapas onde o gás absorve calor, que são a expansão isotérmica e o aquecimento a volume constante:
Qin = Q1-2 + Q3-4
Na etapa 1-2 (isotérmica):
Q1-2 = W1-2 = nRT times 1537
Na etapa 3-4:
Q3-4 = 12 nRT
Então:
Qin = nRT times 1537 + 12 nRT = nRT (1537 + 12) = nRT (1537 + 18.537) = nRT times 33.537

Passo 7

Calculando o Rendimento do Ciclo
O rendimento ( eta) é dado pela relação entre o trabalho líquido e o calor total recebido:
eta = WtotalQin = -95222 nRT33.537 nRT = -95222 times 3733.5 = -95 times 37222 times 33.5
Calculando os valores:
eta = -35157447 approx -0,472
Como o rendimento não pode ser negativo (sinal negativo indica a direção do trabalho), consideramos o valor absoluto:
eta approx 0,472 ou 47,2%

Passo 8

Comparando com o Ciclo de Carnot
O rendimento de um ciclo de Carnot é dado por:
etaCarnot = 1 - TfriaTquente
Precisamos encontrar as temperaturas extremas do nosso ciclo.
Da etapa 1-2 (isotérmica), temos T1 = T2.
Da etapa 2-3 (isobárica), T3 = 23 T1.
Da etapa 3-4 (isochorico), T4 = T1.
Portanto, a temperatura máxima é Tquente = T1 e a mínima é Tfria = 23 T1.
Substituindo na fórmula do Carnot:
etaCarnot = 1 - 23 T1T1 = 1 - 23 = 13 approx 33,3%

Resposta

(a) O rendimento do ciclo é aproximadamente 47,2%.
(b) Comparando com o ciclo de Carnot, que tem um rendimento de aproximadamente 33,3%, o ciclo proposto é mais eficiente.

Exercícios relacionados