Suponha que duas máquinas térmicas estão conectadas em série, de tal forma que o calor que sai da primeira máquina é usado como forma de calor de entrada na segunda máquina. O rendimento das maquinas são
, respectivamente. Mostre que o rendimento da combinação entre as máquinas é dado por
.
12. Suponha que cada máquina do problema 11 seja uma máquina térmica reversível ideal. A maquina 1 opera entre as temperaturas
e
, e a máquina 2 opera entre
e
, onde
. Mostre que
.
12. Suponha que cada máquina do problema 11 seja uma máquina térmica reversível ideal. A maquina 1 opera entre as temperaturas
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre duas máquinas térmicas conectadas em série. A eficiência dessas máquinas é representada por $ e_1 $ e $ e_2 $. Nosso objetivo é mostrar que a eficiência combinada dessas duas máquinas é dada por:
Vamos precisar entender o que é eficiência de uma máquina térmica e como ela funciona quando conectamos duas máquinas em sequência.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é eficiência ($ e $) de uma máquina térmica. Eficiência é a relação entre o trabalho útil produzido pela máquina e o calor fornecido a ela. Matematicamente, é:
Então, para a primeira máquina, temos eficiência $ e_1 $, o que significa que ela converte uma fração $ e_1 $ do calor de entrada em trabalho útil.
Passo 3
Agora, como as máquinas estão conectadas em série, o calor que sai da primeira máquina é usado como calor de entrada para a segunda máquina. Isso quer dizer que a segunda máquina não recebe todo o calor inicial, mas apenas o que sobra após a primeira máquina realizar seu trabalho.
Então, o calor que entra na segunda máquina é:
Aqui, $ Q_{entrada1} $ é o calor que entrou na primeira máquina, e $ (1 - e_1) $ é a parte que não foi convertida em trabalho pela primeira máquina.
Passo 4
A eficiência da segunda máquina, $ e_2 $, indica que ela converte uma fração $ e_2 $ do calor que recebe em trabalho útil. Assim, o trabalho realizado pela segunda máquina é:
Passo 5
O trabalho total realizado pelas duas máquinas é a soma do trabalho da primeira e da segunda:
Fatorando $ Q_{entrada1} $, temos:
Passo 6
A eficiência combinada, $ e_{res} $, é o trabalho total dividido pelo calor de entrada original:
Resposta
A eficiência da combinação das duas máquinas térmicas conectadas em série é: