Densidade corrente de deslocamento - Uma carga
se move uniformemente ao longo de uma linha reta com velocidade
. Calcule o vetor densidade corrente de deslocamento sobre um ponto
a uma distância
da carga, sobre a linha de sua trajetória.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre densidade corrente de deslocamento. Temos uma carga
que se move de forma uniforme numa linha reta com velocidade
. Precisamos calcular o vetor densidade corrente de deslocamento num ponto
que está a uma distância
da carga, na linha da trajetória dela. Para resolver isso, vamos usar conceitos de campo elétrico e a definição de densidade corrente de deslocamento na eletrodinâmica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a densidade corrente de deslocamento
é dada por:
onde:
-
é a permissividade do vácuo, -
é a derivada temporal do campo elétrico.
Como a carga está se movendo, o campo elétrico
no ponto
está mudando com o tempo, então precisamos encontrar essa derivada.
Passo 3
Vamos determinar o campo elétrico
no ponto
devido à carga
que se move com velocidade
. Para uma carga em movimento uniforme, o campo elétrico em um ponto ao longo da trajetória é dado por:
onde:
-
é a distância da carga até o ponto , -
é o vetor unitário na direção de .
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a derivada temporal do campo elétrico
. Como a carga está se movendo com velocidade
, a distância
em função do tempo é:
onde
é a distância inicial e
é a velocidade constante da carga.
Derivando
em relação ao tempo:
Passo 5
Agora, vamos derivar
em relação ao tempo:
Calculando a derivada:
Então:
Passo 6
Agora, substituímos
na fórmula da densidade corrente de deslocamento:
Simplificando, temos:
Resposta
A densidade corrente de deslocamento no ponto
é: