Densidade corrente de deslocamento - Uma carga q se move uniformemente ao longo de uma linha reta com velocidade v. Calcule o vetor densidade corrente de deslocamento sobre um ponto P a uma distância r da carga, sobre a linha de sua trajetória.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre densidade corrente de deslocamento. Temos uma carga que se move de forma uniforme numa linha reta com velocidade . Precisamos calcular o vetor densidade corrente de deslocamento num ponto que está a uma distância da carga, na linha da trajetória dela. Para resolver isso, vamos usar conceitos de campo elétrico e a definição de densidade corrente de deslocamento na eletrodinâmica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a densidade corrente de deslocamento Jd = epsilon0 partial Epartial t é dada por:
onde:
  • é a permissividade do vácuo,
  • é a derivada temporal do campo elétrico.
Como a carga está se movendo, o campo elétrico no ponto está mudando com o tempo, então precisamos encontrar essa derivada.

Passo 3

Vamos determinar o campo elétrico E = 14piepsilon0 qr^2 r no ponto devido à carga que se move com velocidade . Para uma carga em movimento uniforme, o campo elétrico em um ponto ao longo da trajetória é dado por:
onde:
  • é a distância da carga até o ponto ,
  • é o vetor unitário na direção de .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a derivada temporal do campo elétrico r(t) = r0 + vt . Como a carga está se movendo com velocidade drdt = v , a distância em função do tempo é:
onde é a distância inicial e é a velocidade constante da carga.
Derivando em relação ao tempo:

Passo 5

Agora, vamos derivar partial Epartial t = 14piepsilon0 q ddt ( 1r^2 ) r em relação ao tempo:
ddt ( 1r^2 ) = -2r^3 drdt = -2vr^3
Calculando a derivada:
partial Epartial t = -2qv4piepsilon0 r^3 r = -qv2piepsilon0 r^3 r
Então:

Passo 6

Agora, substituímos Jd = epsilon0 ( -qv2piepsilon0 r^3 r ) = -qv2pi r^3 r na fórmula da densidade corrente de deslocamento:
Jd = -qv2pi r^3 r
Simplificando, temos:

Resposta

A densidade corrente de deslocamento no ponto Jd = -qv2pi r^3 r é:

Exercícios relacionados