Considere a transformação linear T: R^3 R^2 definida por:
T(x, y, z)=(x-y+z,-x+2 z)
Determine [T]beta^gamma, onde gamma é a base canônica de R^3 e beta é a base canônica de R^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação linear definida por . Nosso objetivo é encontrar a matriz dessa transformação em relação às bases canônicas de e . Para isso, vamos precisar entender como transformar vetores da base canônica de usando e organizar os resultados na forma de uma matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são as bases canônicas. Na base canônica de , os vetores são , e . Na base canônica de , os vetores são e .

Passo 3

Agora, vamos aplicar a transformação T(e1) = T(1, 0, 0) = (1 - 0 + 0, -1 + 2 cdot 0) = (1, -1) em cada um dos vetores da base canônica de T(e2) = T(0, 1, 0) = (0 - 1 + 0, -0 + 2 cdot 0) = (-1, 0) :
  1. Transformando T(e3) = T(0, 0, 1) = (0 - 0 + 1, -0 + 2 cdot 1) = (1, 2) :
  2. Transformando :
  3. Transformando :

Passo 4

Cada uma dessas imagens [T]beta^gamma = 1 & -1 & 1 -1 & 0 & 2 vai ser uma coluna da matriz da transformação linear . Então, organizamos os resultados das transformações como colunas:

Resposta

A matriz da transformação linear [T]beta^gamma = 1 & -1 & 1 -1 & 0 & 2 em relação às bases canônicas de e é:

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