Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que o conjunto é um espaço vetorial sobre . Isso significa que precisamos verificar se satisfaz as propriedades de um espaço vetorial, como fechar sob adição e multiplicação por escalar, além de conter o vetor zero. Para isso, vamos precisar das definições básicas de espaços vetoriais e das operações em .
Passo 2
Primeiro, vamos identificar se o vetor zero está em . O vetor zero em é . Vamos verificar se ele satisfaz a condição dada:
Como a igualdade é verdadeira, está em .
Passo 3
Agora, precisamos verificar se é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos dois vetores quaisquer e em , a soma também deve estar em .
Sabemos que:
Vamos somar essas duas equações:
Portanto, também satisfaz a condição e está em .
Passo 4
Em seguida, vamos verificar se é fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, se pegarmos um vetor em e um escalar , o produto também deve estar em .
Sabemos que:
Multiplicando ambos os lados por :
Assim, também satisfaz a condição e está em .
Passo 5
Finalmente, já verificamos que contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar. Essas são exatamente as propriedades necessárias para ser um subespaço vetorial de .
Resposta
Portanto, é de fato um espaço vetorial sobre sob as operações usuais.