[Problemas com valor inicial deslocado] Estes correspondem aos problemas de valor inicial cujas condições iniciais são dadas para algum , em vez de . Considere o seguinte (P.V.I.)
a) Faça , e defina . Mostre que é solução do novo (P.V.I.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um problema de valor inicial (P.V.I) com a equação diferencial de segunda ordem . As condições iniciais estão em , ou seja, e . Nosso objetivo aqui é fazer uma mudança de variável para que as condições iniciais passem a estar em . Para isso, vamos usar a substituição e definir . Vamos precisar aplicar as regras de substituição nas derivadas e na própria equação para mostrar que a nova função satisfaz o novo P.V.I.
Passo 2
Primeiro, vamos definir a nova variável x = tildex + pi4 em termos de :
Isso significa que estamos deslocando nossa referência para , fazendo com que corresponda exatamente a .
Passo 3
Agora, definimos a nova função tildey(tildex) = y(tildex + pi4) como sendo igual a :
Com isso, queremos reescrever a equação diferencial original em termos de e .
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de dtildeydtildex = dydx cdot dxdtildex = y'(x) cdot 1 = y'(x) em relação a d^2tildeydtildex^2 = d^2ydx^2 cdot (dxdtildex)^2 = y''(x) cdot 1 = y''(x) . Como e , temos:
Passo 5
Substituindo essas derivadas na equação original d^2tildeydtildex^2 + tildey = 2(tildex + pi4) , obtemos:
tildey'' + tildey = 2(tildex + pi4)
Então, a nova equação diferencial em termos de e fica:
Passo 6
Agora, vamos ajustar as condições iniciais para tildey(0) = y(pi4) = pi2 . Como:
tildey'(0) = y'(pi4) = 2 - raiz2
tildey(0) = pi2, tildey'(0) = 2 - raiz2
Portanto, as novas condições iniciais são:
Resposta
Após a substituição, a função tildey'' + tildey = 2(tildex + pi4) tildey(0) = pi2, tildey'(0) = 2 - raiz2 satisfaz o novo problema de valor inicial: