[Problemas com valor inicial deslocado] Estes correspondem aos problemas de valor inicial cujas condições iniciais são dadas para algum x=x0>0, em vez de x=0. Considere o seguinte (P.V.I.)
y^prime prime+y & =2 x y(pi / 4)=pi2, y^prime(pi / 4) & =2-raiz2
a) Faça x=tildex+pi4, e defina tildey(tildex)=y(x). Mostre que tildey é solução do novo (P.V.I.)
( PVI ) tildey^prime prime+tildey & =2(tildex+pi4) tildey(0)=pi2, tildey^prime(0) & =2-raiz2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um problema de valor inicial (P.V.I) com a equação diferencial de segunda ordem . As condições iniciais estão em , ou seja, e . Nosso objetivo aqui é fazer uma mudança de variável para que as condições iniciais passem a estar em . Para isso, vamos usar a substituição e definir . Vamos precisar aplicar as regras de substituição nas derivadas e na própria equação para mostrar que a nova função satisfaz o novo P.V.I.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a nova variável x = tildex + pi4 em termos de :
Isso significa que estamos deslocando nossa referência para , fazendo com que corresponda exatamente a .

Passo 3

Agora, definimos a nova função tildey(tildex) = y(tildex + pi4) como sendo igual a :
Com isso, queremos reescrever a equação diferencial original em termos de e .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de dtildeydtildex = dydx cdot dxdtildex = y'(x) cdot 1 = y'(x) em relação a d^2tildeydtildex^2 = d^2ydx^2 cdot (dxdtildex)^2 = y''(x) cdot 1 = y''(x) . Como e , temos:

Passo 5

Substituindo essas derivadas na equação original d^2tildeydtildex^2 + tildey = 2(tildex + pi4) , obtemos:
tildey'' + tildey = 2(tildex + pi4)
Então, a nova equação diferencial em termos de e fica:

Passo 6

Agora, vamos ajustar as condições iniciais para tildey(0) = y(pi4) = pi2 . Como:
tildey'(0) = y'(pi4) = 2 - raiz2
tildey(0) = pi2, tildey'(0) = 2 - raiz2
Portanto, as novas condições iniciais são:

Resposta

Após a substituição, a função tildey'' + tildey = 2(tildex + pi4) tildey(0) = pi2, tildey'(0) = 2 - raiz2 satisfaz o novo problema de valor inicial:

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Mostre que os seguintes conjuntos formam Z7-espaços vetoriais sob as operaçães usuais.
© W=x in Z7^2 mid 3 x1-5 x2=0
Usando transformada de Laplace, resolva os seguintes problemas de valor inicial (P.V.I.)
d) y^prime prime+2 y^prime+5 y & =e^-x sin (x) y(0)=0, y^prime(0) & =1 (Resp. y=13 e^-x(sin (x)+ sin (2 x)))
Determine quais dos seguintes pares são vetores em U=x in R^2 mid x1+x2=0.
© z=(-raiz35, raiz35)
Determine quais dos seguintes pares são vetores em W=x in R^2 mid 3 x1-5 x2=0.
(a) x=(5,3)