Mostre que as seguintes funções são densidades:
Passo 1
Beleza, vamos mostrar que essa função
é uma densidade de probabilidade. Para isso, precisamos verificar duas coisas:
- Não-negatividade:
deve ser maior ou igual a zero para todo . - Integral igual a 1: A integral de
em todo o seu domínio deve ser igual a 1.
Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se
é não-negativa em todo o seu domínio.
A função está definida em três partes:
- Para
: . Claro que essa parte é positiva, já que . - Para
: . Vamos simplificar isso: Como , também é não-negativo. Portanto, nessa parte. - Para qualquer outro
: , que é não-negativo.
Então,
é não-negativa para todo
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral de
em todo o seu domínio e verificar se ela é igual a 1.
A função
é diferente de zero apenas no intervalo de
a
, então vamos integrar nesse intervalo:
Vamos calcular cada parte separadamente.
- Integral de
a :
- Integral de
a :
Vamos integrar
:
Avaliado de
a
:
Então:
Somando as duas partes:
Resposta
Como
é não-negativa em todo o seu domínio e a integral de
de
a
é igual a 1, concluímos que
é uma função densidade de probabilidade válida.
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