Mostre que as seguintes funções são densidades:
f(x)=c2 / 3, se -1 <= x <= 0 -2(x-1) / 3, se 0 <= x <= 1 0, caso contrário á

Passo 1

Beleza, vamos mostrar que essa função é uma densidade de probabilidade. Para isso, precisamos verificar duas coisas:
  1. Não-negatividade: deve ser maior ou igual a zero para todo .
  2. Integral igual a 1: A integral de em todo o seu domínio deve ser igual a 1.
Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se f(x) = -2(x-1)3 = 2(1 - x)3 é não-negativa em todo o seu domínio.
A função está definida em três partes:
  • Para : . Claro que essa parte é positiva, já que .
  • Para : . Vamos simplificar isso: Como , também é não-negativo. Portanto, nessa parte.
  • Para qualquer outro : , que é não-negativo.
Então, é não-negativa para todo .

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral de integral-infty^infty f(x) , dx = integral-1^0 23 , dx + integral0^1 2(1 - x)3 , dx em todo o seu domínio e verificar se ela é igual a 1.
A função integral-1^0 23 , dx = 23 times (0 - (-1)) = 23 times 1 = 23 é diferente de zero apenas no intervalo de integral0^1 2(1 - x)3 , dx = 23 integral0^1 (1 - x) , dx a integral (1 - x) , dx = x - x^22 , então vamos integrar nesse intervalo:
[1 - 12] - [0 - 0] = 12
Vamos calcular cada parte separadamente.
  1. Integral de 23 times 12 = 13 a 23 + 13 = 1 :
  1. Integral de a :
Vamos integrar :
Avaliado de a :
Então:
Somando as duas partes:

Resposta

Como é não-negativa em todo o seu domínio e a integral de de a é igual a 1, concluímos que é uma função densidade de probabilidade válida.

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