Mostre que os seguintes subconjuntos de R^4 são subespaços de R^4.
W=(x, y, z, t) in R^4 ; x-y+2 z=0 e t=0.

Passo 1

Vamos dar uma olhada na questão: precisamos mostrar que o conjunto é um subespaço de . Isso faz parte do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar verificar se satisfaz três condições fundamentais para ser um subespaço: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em 0 - 0 + 2 times 0 = 0 e t = 0 . O vetor zero em é . Substituindo esses valores na equação e , temos:
Ambas as condições são satisfeitas, então o vetor zero está em .

Passo 3

Agora, vamos verificar se x1 - y1 + 2z1 = 0 e t1 = 0 é fechado sob adição de vetores. Isso significa que se pegarmos dois vetores quaisquer x2 - y2 + 2z2 = 0 e t2 = 0 e (x1 + x2) - (y1 + y2) + 2(z1 + z2) = (x1 - y1 + 2z1) + (x2 - y2 + 2z2) = 0 + 0 = 0 em t1 + t2 = 0 + 0 = 0 , a soma também deve estar em .
Como e estão em , sabemos que:
Somando as duas equações correspondentes:
E:
Portanto, também satisfaz as condições para estar em .

Passo 4

Por último, vamos verificar se x - y + 2z = 0 e t = 0 é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que se pegarmos um vetor c x - c y + 2c z = c(x - y + 2z) = c times 0 = 0 em c t = c times 0 = 0 e um escalar , o vetor também deve estar em .
Como está em , temos:
Multiplicando por :
E:
Portanto, também satisfaz as condições para estar em .

Resposta

Como contém o vetor zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar, concluímos que é um subespaço de .

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