Mostre que os seguintes subconjuntos de
são subespaços de
.
e
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada na questão: precisamos mostrar que o conjunto
é um subespaço de
. Isso faz parte do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar verificar se
satisfaz três condições fundamentais para ser um subespaço: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em
. O vetor zero em
é
. Substituindo esses valores na equação
e
, temos:
Ambas as condições são satisfeitas, então o vetor zero está em
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
é fechado sob adição de vetores. Isso significa que se pegarmos dois vetores quaisquer
e
em
, a soma
também deve estar em
.
Como
e
estão em
, sabemos que:
Somando as duas equações correspondentes:
E:
Portanto,
também satisfaz as condições para estar em
.
Passo 4
Por último, vamos verificar se
é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que se pegarmos um vetor
em
e um escalar
, o vetor
também deve estar em
.
Como
está em
, temos:
Multiplicando por
:
E:
Portanto,
também satisfaz as condições para estar em
.
Resposta
Como
contém o vetor zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar, concluímos que
é um subespaço de
.