Quais dos seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais de ?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto W de matrizes 3 times 3 definido por:
W=(ccc a & b & c 0 & 0 & 0 0 & d & 0 ) ; d < a + b + c
Nosso objetivo é verificar se esse conjunto W é um subespaço vetorial de M3 times 3, que é o conjunto de todas as matrizes 3 times 3. Para isso, precisamos lembrar que, para um subconjunto ser um subespaço vetorial, ele precisa satisfazer três condições básicas:
O conjunto não pode estar vazio (deve conter o vetor zero).
Deve ser fechado sob adição (soma de quaisquer duas matrizes no conjunto também está no conjunto).
Deve ser fechado sob multiplicação por escalar (qualquer matriz no conjunto, multiplicada por um número real, também está no conjunto).
Passo 2
Vamos verificar a primeira condição: o conjunto W não está vazio. Para isso, precisamos ver se a matriz zero está em W. A matriz zero em M3 times 3 é:
(ccc 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 )
Substituindo na condição d < a + b + c, temos 0 < 0 + 0 + 0, ou seja, 0 < 0. Isso não é verdadeiro. Portanto, a matriz zero não está em W.
Passo 3
Já que o conjunto W não contém a matriz zero, ele não satisfaz a primeira condição para ser um subespaço vetorial. Não precisamos verificar as outras condições, pois todas devem ser atendidas para que W seja um subespaço.
Resposta
O conjunto Wnão é um subespaço vetorial de M3 times 3 porque não contém a matriz zero.